张瑜，张越
（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布012000）
摘要：本文对矩阵特征值进行归纳、总结，通过例题了解求特征值的方法与技巧，并利用特征值求解行列式、矩阵等相关问题，提高学生对矩阵特征值的认识，从而扩展解题思路，提高抽象思维能力，为其进一步的学习和研究打下良好的基础。
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关键词 ：矩阵；行列式；特征值；特征多项式
DOI：10.16083/j.cnki.22-1296/g4.2015.04.072
中图分类号：O151.2文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）04—0153—02
收稿日期：2014—10—19
作者简介：张瑜（1977— ），男，内蒙古四子王旗人。集宁师范学院数学系，讲师，硕士，研究方向：应用数学。
张越（1975— ），男，内蒙古四子王旗人。集宁师范学院数学系，讲师，硕士，研究方向：应用数学。
一、引言与预备知识
特征值在高等代数中尤为重要，在各高校历年考研试题中占有一定的比例，它在很多领域都有广泛的应用。在科学研究与工程设计中灵活运用特征值可以使很多复杂的问题简单化，起到便利的作用，而且随着现代科学技术的迅猛发展，矩阵理论已成为目前最有实用价值的数学理论之一。尤其是对特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分，因此，对矩阵特征值的研究与探讨是很有必要的。
定义1若存在非零向量X，使得AX=λX，则称λ为A的特征值，X称为A的属于特征值λ的特征向量，f（λ）=（λI-A）称为A的特征多项式。
A的特征值λ是特征方程f（λ）=0的根，特征向量X是方程组（λI-A）X=0的所有非零解。
注 ①特征向量X≠0，且特征值只针对于方阵。
②特征值λ与特征向量X并不具有唯一性。
③n阶方阵A的特征值是使齐次线性方程组（λI-A）X=0有非零解的λ的值，即满足|λI-A|=0的λ都是方阵A的特征值。
二、矩阵特征值的几个有用且比较重要的结论
命题1设A，B是n阶方阵，则AB与BA有相同的特征值。
证明（法Ⅰ）若A可逆，则|λI-AB|=|A-1（λI-AB）A|=|λI-BA|。若A不可逆，但A-aI可逆，此时b（A-aI）与（A-aI）B有相同的特征多项式，于是|λI-B（A-aI）|=|λI-（A-aI）B|，但仅有有限个值使得|A-aI|=0，即有无限个a之值使得A-aI可逆，故上式为恒等式。特别当a=0时，上式成立，即|λI-AB|=|λI-BA|，故AB与BA有相同的特征多项式，从而AB与BA有相同的特征值。
（法Ⅱ）若λ=0是AB的特征值，即存在λ≠0，使得ABX=0X=0，所以AB不可逆，于是A，B中至少有一个不可逆，从而AB不可逆，故存在非零向量X，使得BAX=0，即0是BA的特征值。
若λ=0是AB的特征值，即存在X≠0，使得ABX=λX，令Y=BX，则AY=ABX=λX≠0，所以Y≠0，于是BAY=BABX=BλX=λBX=λY，即Y是属于AB的特征向量，λ是BA的特征值，同理，BA的所有特征值也是AB的特征值。故AB与BA有相同的特征值。
命题2设A，B分别为n×m与m×n阶矩阵，如果n>m，则AB与BA的特征多项式仅相差一个因子λn-m。
=［a1a2…an］T，
C=［b1b2…bn］，则A=BC，而CB=∑nk=1akbk，于是CB的特征值为∑nk=1akbk。
又由于BC与CB的特征多项式仅相差一个因子λn-1，因此A=BC的特征值是特征方程λn-1
λ-∑nk=1akbk=0的根，即λ1=λ2=λn-1=0，λn=∑nk=1akbk，因此I+A的特征值为1，1，1，…，1，1+∑nk=1akbk。
特别地，若A=［a1a2…an］，则I+ATA的特征值为1，1，1，…，1，1+∑nk=1a2k。
命题4实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。
证明设A是实反对称矩阵，λ是A的任一特征值，ξ≠0是属于特征值λ的特征向量，则Aξ=λξ。
以上命题的结论较为重要，不仅在特征值的计算中应用较多，在其他性质、结论的证明过程中应用也比较广泛。另外，特征值的计算方法较多，尤其对于不同的矩阵，如实对称矩阵、正定矩阵等，均有不同的特征值求法，在此不一一举例说明。
三、结束语
通过对矩阵特征值的探究与讨论，我们了解到特征值应用的广泛性，利用矩阵特征值可以求出实对称矩阵的正交矩阵、高次幂矩阵等较复杂的问题，使得计算简单方便，并且有利于扩展解题思路，提高抽象思维能力。
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