李艳红
（昆明理工大学 城市学院，云南 昆明 650051）
摘 要：传染病是危害人类身体健康的重要病症之一，长期以来人类的生存和经济的发展都深受其害.通过阅读相关文献发现，目前对传染病的研究基本是进行数据拟合来预测病情趋势，却很少考虑当时间变化时怎样更好的控制传染病.为了更接近现实医学，本文首先建立了包含接种者和隔离者的SVEIQR模型，从而找到基本再生数，然后通过参数的设置和控制，达到控制并最终消除传染病的目的.
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关键词 ：传染病；接种；隔离；基本再生数；稳定性
中图分类号：O175.1文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）04-0003-03
1 引言
当传染病具备传染源、传播途径、易感人群等条件时，就会在人群中传播，但会受到自然因素和社会因素的影响.目前医学上较有效且常用的措施分别是隔离治疗已患病者和预防（如接种疫苗）易感染者.因此找到一个最优疫苗接种和隔离控制策略来阻止传染病的蔓延具有十分重要的意义.
2 预备知识及相关理论
2.1 线性稳定性
考虑具有常系数的线性系统
其中A=（aij）n×n是n阶实矩阵，x∈！n
定理2.1 （1）系统（2.1）具有稳定的平凡解？圳矩阵A的特征值都具有负实部或零实部，且具有零实部的特征值仅仅对应矩阵A的简单初等因子.
（2）系统（2.1）的平凡解是渐进稳定的？圳矩阵A的所有特征值的实部均小于零.
（3）系统（2.1）的平凡解是不稳定的？圳矩阵A存在具有正实部的特征值或存在对应于多重初等因子的零实部特征值.
2.2 线性系统的扰动理论
设非线性系统
则当A不存在零实部的特征值时，线性系统（2.3）与非线性系统（2.1）具有相同的稳定性.
特别的，若S={0}时，式（2.1）的平凡解是渐近稳定的.
3 模型的建立
3.1 模型的建立
由于接种和隔离在传染病控制中的作用越来越明显，因此本文同时考虑了接种和隔离，建立了SVEIQR模型.模型如下：
其中参数如下：
定理3.2 若R0≤1，具有全局渐近稳定的无病平衡点;若R0>1，无病平衡点不稳定，地方病平衡点全局渐近稳定.
4 模型的参数控制与主要结果
4.1 对系统（3.2）施加输入控制
出生，隔离外界输入可减少疾病的传播.
4.2 对系统（3.2）的易感者施加隔离控制
设隔离控制率为m，则模型变为
结果：要达到消除传染病的目的，传染病的隔离控制率n要满足
结论：本文通过对非线性传染病的SVEIQR模型的全局分析，找到了决定系统在可行域内动力学行为的重要指标——基本再生数R0，它可控制疾病流行与消除.当R0<1时，新感染者数量下降，传染病的传播得到控制并最终消除;当R0>1时，传染病在种群中持续传播蔓延并成为地方病.同时探讨了通过一些控制措施使得基本再生数R0变小，例如控制人口的输入、减少易感者或患病者的人数等，并且可知当参数满足一定的条件时R0<1，从而使得疾病最终消除.
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