◇浙江省杭州市淳安县实验小学 陈珺瑛
摘要：由于年龄特征、知识探究过程特点、预设生成的影响，学生在学习过程中出现的种种偏差和失误，使得学生的学习错误是客观存在、有价值的。文章通过关注错误，引导辨析；将错就错，显露思维；诱发错误，自我反思；有意留错，完善认知四个策略捕捉稍纵即逝的错误，开发隐藏于背后的教学价值，巧妙运用于教学活动中，让学生经历错误，认识错误，实现认知的发展。
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关键词 ：小学数学；学习错误；成因分析；价值开发
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）21-0079-03
学生在数学学习活动中因各种原因出现了有悖于数学方法或教学结论的现象可以统称为学习错误”，主要表现为：计算错误（遗漏）、理解偏差、偷换概念、分类不当、以偏概全、忽视特例等现象。由于受传统观念的影响，我们往往把错误当作“洪水猛兽”，在课堂中有意或无意地在不同程度上回避错误，如采用大量的铺垫和不断地暗示，不敢让普通学生来回答问题等措施，生怕出错影响教学节奏，最终完成不了教学任务，教学流程看似流畅、周密，师生看似配合默契，实则学生缺乏自主的时空。另外由于对新理念的片面理解，认为只要充分调动学生的学习积极性就可以，可以让学生带着问题、错误走出课堂，甚至不惜用一些美丽的“谎言”来帮助学生掩盖学习中的错误……导致很多问题在课堂上没有暴露，但课后却错误一片。
“谁不考虑尝试错误，不许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”可见错误也是一种特殊的教学资源，教师面对学生的错误不能简单地判定为学生在学习过程中出现次品，而应该抓住学生犯“错”的契机，充分挖掘其间隐藏着的教学价值，让学生经历错误，认识错误，实现认知的发展。
一、学生数学学习中出现错误的成因分析
1.年龄特征的影响。首先，感知比较粗略，一般还不会独立地给自己提出感知任务，即使对于教师提出的任务也不能很好地排除干扰，集中感知事物，这就造成抄错数字或漏写数字等；其次，注意品质欠佳，表现为注意广度较小，注意稳定性不高，不善于注意的分配和转移，常会顾此失彼，造成一些难以解释的错误；最后，易受思维定势的消极影响，常用习惯的方法去解答性质完全不同的问题，从而出现错误。
2.知识探究过程的本质决定。首先，探索发现未知的东西无法避免出错，虽然有教师的积极引导、帮助，但发现过程中必然需要学生的主动参与，个体的差异造成方法、结果、感受的偏差，导致错误在不同程度上时有发生；其次，知识的探究是在经验的逐渐积累中完成的，学生只有通过不断地尝试，才能实现个体经验的合理化，这就使得统一的学习活动出现多样的学习效果，期间难免出现废品、次品（错误）。
3.预设与生成的矛盾依然存在。首先，教师的课前预设是不可能把所有的情况全部都考虑周全的，特别是学生的一些隐性学习需求，同时教师素质差异对预设的广度和深度有着很大的影响，导致学习过程中发生错误是非常正常的；其次，教师预设的统一教学流程，落实到众多富有个性的学生中很难保证有效生成全部的预设结果，期间必然存在个别错误。
可以这样说，在数学课堂上每天都有学生在出错，它们本身就是课堂中客观存在、无法回避的一部分，我们只能通过纠正错误，更好地在今后防止类似错误的发生，通过对错误资源的价值开发，实现教学目标的顺利达成。
二、学生数学学习中错误的价值开发与利用
1.关注错误，引导辨析。学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提，有效帮助学生纠正错误，就应注意如何提供或创造适当的外部环境来达到这个目的，如“乘法分配律课堂练习”的教学案例：
意想不到的算法
错例原委：在学习完“乘法分配律”之后，出了两道练习题①25+75×4 ②25×75×4，目的是为了通过变式训练使学生对乘法分配律应用能力得到强化。
错误表现：甲：25+75×4=4×（25+75）
乙：25×75×4=4×（25+75）
错误比率：大约占全班的20%。
更正过程：抓住契机设定甲、乙、丙（正确方）之间开展辩论，甲、乙都认为25与75可以凑成100就可以应用“乘法分配律”，丙认为4×（25+75）=4×25+4×75与算式①②都不一样，经过争辩，学生很快发现甲、乙两位学生的算法出错了，甲、乙两人自己也心服口服。
甲、乙两位学生的算法很明显是错的，如果只是简单地直接告诉他们，就会使类似的错误往往还会接二连三地出现在学生的作业当中，因为他们的归因会落在自己的审题上的不仔细，而不是归因在自己对“乘法分配律”意义的理解上出现偏差，只有让这个错误引起大家的关注，并在争辩中得到更正，才能使他们对错误产生的原因有深刻的认识。
由于学生的学习过程是以自己的知识经验为基础的，当学生出现一些个性化的方法，尽管这可能是错误的，但足以证明他对所学内容有了独立的思考，作为教师要珍惜这种资源，把解决问题的主动权还给学生，引导他们比较、争辩，自己明确产生错误的原因，找到更正的方法，从根源上有效避免以后再犯类似的错误。
（1）相信学生的“错”总是有道理的。学生在学习中产生的错误是基于他们自认为正确的认识与决定，而出现错例恰恰是这种认识与决定真实的表现形式，如果教师只对错例进行简单地否定，那么他们那种悄悄建立起来的错误认识一般难以彻底更正，只有找到他们内心的道理，才能达到治标治本的效果。
（2）善待学生的错。当学生在课堂上出现错误或产生问题时，教师要本着以人为本的主体教育观，尊重、理解、宽容出错的学生，不应该采取“马上订正”或“立即纠正”的方法，因为课程内容对学生来说本身具有一定的挑战性，学习过程中出现的错误就是他们与课程内容在交互过程中产生的新的研究对象，具有新的学习价值。
（3）把错例作为新的学习内容。学生出现的错例是基于现有认知水平上发生的，在一定的范围内是有类似情况存在的，如果课堂中教师只对某个典型的错例作些简单的评价，那么对学生错误更正面是不全面的，甚至是效果不明显的，唯有把这个错例作为一个新的学习内容让学生开展研究，才能让大多数学生充分关注错误产生的原因与更正的方法。
2.将错就错，显露思维。错误是学生最朴实的想法、经验最真实的暴露，其间可能包含着有价值的或者有争议的思维方式，对学生而言是自己经过严密思考后作出的“科学”结论，在他们身上必然存在着支撑这个结论的知识框架，如果教师只对这个结论进行更正，那么存留在学生头脑中的知识框架还会产生另外的错误，只有当产生这个错误的整个路途完全显露出时，才能给予彻底消除，如“千米的认识”教学案例：
上海明珠电视塔大约有多高？
错例原委：在“千米的认识”这一课快结束时，笔者出了一组判别题，其中一道是“上海东方明珠电视塔高度大约是1千米”，目的是为了检查学生是否建立1千米的概念，以及长度单位的应用方法。
错误表现：甲——我认为是对的，上海东方明珠电视塔看上去很高、很高。
认可比率：有33%的学生认为是对的，因为的确很高。有近33%的学生眨着眼睛，将信将疑。
释疑过程：
师：上海东方明珠电视塔看起来很高很高，那就是1千米，对吗？
生：对。（声音很响亮）
师：我们的教室大约有多高？
生：3米左右（很肯定）
师：你是怎样看出来的？
生：门高2米，门上有1米。
师：那上海东方明珠电视塔共有几层……
生：那么多层诶，哦，只有60米左右？
师：有1千米吗？（全场寂静后，突发一声“没有”）
原定设计中，笔者认定这道题学生几乎是不会错的，因为在笔者的想象中学生对“1千米”的认识是很容易的，谁知他们把1千米界定为很长很长（很高很高）上，并且有这种认识的学生大有人在，其原因在于对1千米的表象建立不牢固和估算策略的淡薄，如果教师在这题上只作简单的错误更正，那么错误的根源会一直留在学生脑海中。
（1）把“错”留住，调整教学进程。教学展开的过程应该是师生之间、学生之间知识、思考、见解的多向交流与碰撞，学生的信息反馈直接决定着教学进程的发展，学生错例的出现就是课堂教学流程需要变化的重要指向灯，只有给学生表达、展示这些错例的机会，才能显现精彩的课堂。
（2）推迟介入，让错误闪现。学生错误的出现原因是多方面的，为了显示学生出现错例的根源，教师必须推迟介入，使他们有积极思考、自主探索的时间和组际之间相互交流的空间，同时教师的推迟介入也能让错误成为学生集中关注的学习内容，使学生自主找到正确答案成为可能。
（3）将错就错，不攻自破。对学生而言，学生提出的错误观点也是他们在思考过程中的积极发现，如果教师不假思索地轻易否定学生，那么教学就可能成为一种泯灭学生发展的力量，让学生沿着自己假设的方向去探索，直至推翻自己最初的结论，这时学生对认知的自主建构是积极主动的，虽然学生在认知上实现自我否定是一个缓慢、艰难的过程，但取得的成效却是最有效的。
3.诱发错误，自我反思。一般而言，师生评定出的错误会使学生产生失败感，但通过自我反思发现错误，并能自我改正往往会带给学生很大的成功感，有意识地设计一些障碍，并及时指导学生寻求跨越障碍的方法，反思取得成功的经验，将有利于激励学生积极主动地开展探究活动，既能顺利突破教学难点，又能帮助学生形成自我反思的能力，如“面积与面积单位”教学案例：
8格与4格一样大
错例原委：在认识了平面图形面积的大小，可以用数格子的方法来确定之后，为了引出“数格子比大小的前提是所分的格子必须是同样大”这个重点内容，从而发现计算面积时存在着不同的面积单位，笔者在课中故意设了一个“陷阱”。
错误比率：全班几乎都“上当”。
纠错过程：（师）刚才我们发现平面图形面积的大小可以进行数格子，下面我们就来做一个游戏，男同学数时，女同学闭上眼睛，女同学数时，男同学闭上眼睛。一会儿男生数出一个长方形有8格，女生数出另一个长方形有4格。
师：谁看到的图形面积比较大？
（一致认为男生看到的图形面积比女生看到的大。）
师：为什么？
生：8格比4格多。
师：是这样吗？我把两个图形拿出让你们看一下。
生：原来是一样大。（突然领悟）
师：8格怎么和4格一样大呢？
生：这两种格子大小本不一样，必须要分成同样大小的格子才能比较。
“统一格子的大小”是面积单位出现的雏形，而它产生的必要性教师把它设计在一个“陷阱”中，课中引领学生不知不觉地走进了“陷阱”，当他们从“陷阱”里走出来时，“面积单位”的出现就水到渠成了。学生通过“上当”并从错误中猛醒过来时教训深刻，收到了“吃一堑长一智”的效果，同时这个过程中存在着高度的情感反差，伴随着明显的正误对照和自我反思的联动反应，自然给学生留下了深刻的印象。
（1）让错误有悖于常识。学生对一个问题的解释、判断往往是把它在自己原有的知识背景上进行思考的，原有的知识背景往往在一定程度上能形成定势作用，当一种新问题进入学生视野时，在定势作用下能做出快速的反应，如果此时教师精心设置的“陷阱”有悖于学生原定的常识，学生发生的错误面是相当广的，形成自我审视认知结构合理性愿望也是非常强烈的，从而推动自己主动进行错误的改正。
（2）让错误激发顿悟。学生从对错误的自我否定到新的认识的重新建立实际上是一个顿悟的过程，因为学生在对错误进行更正时，必须先进行原有认知结构的打破与重建，再实现对新知的归属与同化，但出现顿悟必须有学生对解决认知矛盾的迫切愿望，如果课堂中教师设定的错误是学生印象非常深刻的或者挑战性很强，那么学生渴望解决问题的内驱力就会显著增强，激发学生顿悟机率就会增大。
（3）从更正错误中发现新知识。引导学生对错误进行更正是基于两个问题，其一是更正原有错误的认识，其二是为了对某一数学法则、原理的巩固，前者是一个重新认识的过程，后者是一个训练强化的过程。教师在课堂中精心设置“陷阱”是为了让学生经历出入“陷阱”的过程，感受到眼前的错误是认识上必须要改变的问题，只有让学生在“陷阱”中“挣扎”过，错误的提醒才是深刻的，对新知识的感受才是强烈的。
4.有意留错，完善认知。学生犯错的过程无疑是一种尝试、自我反思的过程，然而学生的错误有时是可遇不可求的，如果我们能创造一些“美丽的错误”，引导学生从自己的认识角度，凭借自己已掌握的数学知识找错、知错和改错，让学生逐步形成主动审视、评价数学课堂中每一个成员见解的习惯，从而进一步完善他们的认知系统，如“圆的认识”教学案例：
不该遗漏的概念前提
错误原委：学习了圆的直径、半径的特征后，笔者引导学生对直径、半径之间特殊关系用关系式来表示，笔者和学生归纳为直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一。
错误比率：只有15%的学生不认同上述归纳是正确的。
发现错误过程：
师：刚才我们不是看到一条直径中可以分出两条半径吗？
生：对啊。
师：直径是半径的2倍也应该是正确的。
生：它们要在同一个圆里。
（教师拿出两个不同的圆，分别标出直径和半径）
师：这两个圆的直径与半径是2倍的关系吗？
生：没有，它们不在同一个圆里……
生：在同一个圆里的直径是半径的2倍。
师：对啊，只有在同一个圆里，直径与半径才有这种关系。
从图形中发现直径与半径的关系，“在同一个圆里”这个前提已经直观地展现在学生的潜意识之中，如果从图形中抽象出来变成一条性质进行规定，那必须是完整的，然后部分学生仍然有可能把这个性质的前提条件继续当作潜规则不加阐明，导致这条性质不完整、不科学。类似的错误在学生中时有发生，如果只在每次学生犯错时加以提醒，那么它的认知系统与自我反思能力的发展将是不完备的。
（1）在学生熟视无觉处设错。任何一个数学概念、性质都有它严格的内涵，而师生、生生在平常的数学信息交流中难免会受到语言表述习惯的影响，简约化的陈述是它普遍的趋势，久而久之便形成了干扰性的思维定势，一些关键性的属性会在学生日常语言表述中丢失，然而谁也不会严格地去纠正，如果老师不刻意去强调，就很难保证学生完全牢固地掌握它，因此，必须在这些不经意处常设警示，通过有意的犯错加以提醒。
（2）在思维转弯处设错。学生出现错误从在一定程度上讲是他们思维活动不顺畅或受阻的结果，在数学问题的解决过程中分析、综合等思维活动是多方向的，思维的流畅性程度直接影响着学生解决问题的正确率，如果教师多在一些思维活动的转弯处设置警示，那么将有利于学生维持思维的流畅性，一个个主动设置的错误将提醒学生有效地走向成功。
（3）在认知系统缺失处设错。学生出错误有习惯上的原因，有思维上的原因，也有认知系统上的原因，完备的认知系统能使学生从多角度去思考、解决问题，同时带来方法、策略的多样化与结果的准确度，反之则结果强差人意。如果教师能正视认知系统缺失对学习成效的影响，并及时有针对性地设置警示，使学生在纠错训练中认知系统得到发展。
错中有序，错中存真，学生的错误虽有不可预见性，但却是学生思维的真实反映，其间蕴含着宝贵的“亮点”。教师只有以真诚的态度去倾听，尊重学生的心声，独具慧眼并及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中，变学习错误为培养学生创新思维的契机，才会看到错误背后的成功，让其发挥出应有的价值，折射出灿烂的光芒。
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（编辑：杨迪）