陈聪 CHEN Cong；赵莹 ZHAO Ying；高金凤 GAO Jin-feng
（浙江理工大学机械学院自动化系，杭州 310018）
（Department of Automation，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）
摘要： 倒立摆系统是典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，本文在给出一级倒立摆数学模型的基础上，设计了PID控制器与LQR控制器，并基于MATLAB软件对这两种控制算法进行了仿真对比分析，结果显示LQR控制算法的控制性能要优于PID控制算法。
Abstract： This paper presents the model of first-order inverted pendulum which is a classical rapid， multi-variable， nonlinear and unstable system. PID controller and LQR controller comparison analysis results are obtained based on MATLAB software. Numerical examples illustrate that the effect of LQR controller is superior than PID controller.
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关键词 ： 倒立摆；PID；LQR；MATLAB软件
Key words： inverted pendulum system；PID；LQR；MATLAB software
中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）18-0209-02
作者简介：陈聪（1994-），男，浙江金华人，在读本科生，研究方向为自动控制。
0 引言
倒立摆是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，尤其是一级倒立摆的实验原型，由美国麻省理工学院(MIT)的控制论专家根据火箭发射助推器原理所设计而来。倒立摆系统常用的稳定化控制方法如PID、自适应、最优控制、智能控制等[1-5]。然而这些方法的比较结论甚少提及，最常用的PID与LQR最优控制对比分析也鲜有研究，本文基于此提出了一级倒立摆的两种控制算法分析，指出LQR控制在鲁棒性与快速性方面明显优于PID控制。
1 倒立摆的数学模型
根据图1倒立摆系统，可以利用牛顿力学的分析方法建立数学模型[2]：
在参考临界比例度参数调节法，经过反复实时调整，最后确定较为合理的PID参数为：Kp=-70，KI=-80，KD=-50可得到图3所示的响应曲线，可见两条曲线最后都趋于稳定。所以合理的PID参数可以使系统稳定。
3 LQR控制算法的研究
LQR控制算法是针对状态方程（2），通过确定最佳控制量u（t）=-Kx（t）的矩阵K，使得控制性能指标达到极小，其中Q为对称正定（或半正定）矩阵，R为对称正定矩阵，Q和R分别表示了误差和能量损耗的相对重要性[4]。
下面将通过仿真实验，探求加权矩阵Q、R与性能指标间的关系，系统的控制要求是使小车倒立摆系统（2）从初始的不稳定状态回归到稳定状态[5]（初始状态：位移为1，摆角为0；稳定状态：位移为0，摆角为0）：经过不断的试凑可得增大R矩阵权值时，ts、td显著增大，系统稳定所需时间更多；但是系统在响应过程中超调量变小，即振荡减小。取Q = I，R=10时的控制效果较好，LQR增益矩阵：K=（-0.3162 -1.0842 -28.0056 -8.5393）， 仿真结果如图4所示。
4 结论
PID控制和LQR控制最终都能够使得倒立摆系统趋于稳定。采用常规的PID控制效果较差，主要因为常规的PID控制器实际上是一种线性控制器，对于像倒立摆这样的非线性、绝对不稳定系统在控制效果上略显不足；相比之下，LQR控制系统的超调量小，响应速度快，所以虽然LQR控制算法比较复杂，不易理解，但可以比较好地控制倒立摆，且具有较好的鲁棒性与动态特性，控制效果明显优于常规的PID控制。
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参考文献：
[1]王孝莉，张丽婷，杨西侠.单级倒立摆的两种控制方法的仿真研究[J].信息技术与信息化，2006（4）：137-139.
[2]俞立.现代控制理论[M].北京：清华大学出版社，2007.
[3]王俊.基于倒立摆的PID控制算法的研究[J].现代电子技术，2012，35（23）：152-154.
[4]刘凯.一级倒立摆系统设计与LQR最优控制仿真[J].工业仪表与自动化装置，2012（3）：10-13.
[5]刘微微，张静.单级倒立摆LQR控制方法的鲁棒稳定性分析[J].黑龙江水专学报，2010，37（2）：105-108.