福建省福州市长乐第七中学（350206）章国平
一次课堂教学中，笔者讲解了济南市2015届高三质检的一道考题：
已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，且满足x1∈(－1,0),x2∈(0,1)，则a+2b+4a+2的取值范围是（）。
A。（0,2）B。（1,3）C。\[0,3\]D。\[1,3\]
此题貌似函数求导，真正深入下去，内容挺丰富，考查的知识面很宽。本文就其求解步骤与同仁分享，并作一点教学反思。
一、解题步骤
第1步：已知函数有极值，求参数的范围。
由f ′(x)=x2+ax+b，令f ′(x)=0，即x2+ax+b=0，则这个以x为未知数的方程有两个实数根x1,x2且x1∈(－1,0),x2∈(0,1)。
第2步：已知一个一元二次方程的根为x1,x2且图1x1∈(－1,0),x2∈(0,1)，求参数的范围。
令g(x)=x2+ax+b，其图像是一开口向上的抛物线，如图1，由零点分布情况可得
g(－1)>0,
g(0)<0,
g(1)>0,解得
1－a+b>0,
b<0,
1+a+b>0。（这里再加对称轴在-1~1之间的条件也可以）图2
第3步：二元一次不等式的求解，转化为平面区域的求解。
这里以a作横坐标，b作纵坐标，且平面区域不含边界，则（a,b）适合平面区域如图2的三角形区域。
第4步：已知（a,b）适合平面区域所在的范围，
求a+2b+4a+2的取值范围。
由于a+2b+4a+2可分离为a+2+2(b+1)a+2=1+2(b+1)a+2,
而式子b+1a+2在图形上的几何意义是动图3点（a,b）与定点Q(－2,－1)连线的斜率，如图3，当直线在QB时斜率为0，当直线在QA时斜率最大，所以－1+10+2<b+1a+2<0+1－1+2，即0<b+1a+2<1,所以1<1+2(b+1)a+2<3,a+2b+4a+2∈(1,3)。
故本题答案应选B。
二、一点反思
对于本题，题干部分很不起眼，就是一道普通的函数导数问题，关键是有两个字母的参数出现使得问题复杂化，求解的又是一个含两个参数的分式的取值范围。从考试时间来看，要在很短的时间里完成这道题，需要考生有全面的知识，解题能力要达到相当的熟练程度。而且其中体现有函数与方程、数形结合、分类与整合及化归与转化等多种思想方法。要求解题者具有一定的数学视野，良好的思维习惯及锲而不舍的探索精神。启示我们教师的教，应注重思想方法的渗透，数形结合的思想运用，有意识地在讲解与渗透重要的基本数学思想时，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力的目的。只有这样，学生才能灵活运用和综合运用所学的知识；
学生的解题不应仅仅满足于会做，而要对题目由表及里、由此及彼、由浅入深地去分析，做到举一反三，融会贯通，多认真思考，发现题目包含更多的内在知识及联系。