江西省吉安师范学校（343000）邹玲傅金梅
等差数列的通项可以表示为an=dn+(a1－d)，从函数的观点看，点列(n,an)在直线y=kx+b（k=d，b=a1－d）上。故有下面的命题：
命题若{an}是等差数列，则点列(n,an)在同一条直线上。
设Sn是等差数列的前n项和，易证Snn为等差数列。由命题知下面的推论成立。
推论设Sn是等差数列的前n项和，则点列n,Snn在同一条直线上。
下面利用上述命题与推论，巧证等差数列的几个性质。
设ap，aq，ar是等差数列{an}的任意三项，则点(p,ap)，(r,ar)，(q,aq)共线，∵由定比分点坐标公式有r=p+λq1+λ,
ar=ap+λaq1+λ,∴ar=(r－q)ap－(r－p)aqp－q（*）。
当r=p或r=q时，（*）式也成立，这表明当r∈N?时（*）式都成立。
由（*）式易得以下几个有趣的性质：
性质1在等差数列{an}中，若ap=q，aq=p，p≠q，则ap+q=0。
性质2在等差数列{an}中，若ap=q2，aq=p2，p≠q，则ap+q=－pq。
性质3在等差数列{an}中，若ap=1q，aq=1p，p≠q，则ap·q=1。
性质4在等差数列{an}中，若p+q=r+s，则ap+aq=ar+as。特别地，当
p+q=2m时，有ap+aq=2am。
证明:点(p,ap)，(q,aq)，(r,ar)，(s,as)共线，设直线方程为y=kx+b，则
ap=kp+b，aq=kq+b，ar=kr+b，as=ks+b，∴ap+aq=k(p+q)+2b，
ar+as=k(r+s)+2b，∵p+q=r+s，∴ap+aq=ar+as。
显然，当r=s=m，即p+q=2m时，有ap+aq=2am。
推广1在等差数列{an}中，若p1+p2+…+pi=r1+r2+…+ri，则
ap1+ap2+…+api=ar1+ar2+…+ari。特别地，当p1+p2+…+pi=im时，有
ap1+ap2+…+api=iam。
推广2在等差数列{an}中，若
p1+p2+…+pii=r1+r2+…+rjj，则
ap1+ap2+…+apii=ar1+ar2+…+arjj。
性质5设Sn是等差数列的前n项和，若p≠q，则Sp+q=p+qp－q(Sp－Sq)。
证明:∵点p,Spp，q,Sqq，p+q,Sp+qp+q共线，∴Sp+qp+q－Sqq(p+q)－q=Spp－Sqqp－q，化简整理，得Sp+q=p+qp－q(Sp－Sq)。
推论1设Sn是等差数列的前n项和，若Sp=Sq，p≠q，则Sp+q=0。
推论2设Sn是等差数列的前n项和，若Sp=q，Sq=p，p≠q，则
Sp+q=－(p+q)。
在性质5中，令p=i，q=i－1，i∈N*，且i>1，得S2i－1=(2i-1)(Si－Si－1)，即S2i－1=(2i-1)ai。当i=1时，S2i－1=(2i-1)ai显然成立；在性质5中，令p=i+1，
q=i－1，同理可得S2i=i(ai+ai+1)。于是有
推论3设Sn是等差数列{an}的前n项和，则S2i－1=(2i-1)ai。
推论4设Sn是等差数列{an}的前n项和，则S2i=i(ai+ai+1)。
在性质5中，令p=2i，q=i，得S3i=3(S2i－Si)，即2(S2i－Si)=Si+(S3i－S2i)，也就是
推论5设Sn是等差数列的前n项和，则Si，S2i－Si，S3i－S2i成等差数列。