江苏省丹阳高级中学（212300）史建军
1.问题背景
文\[1\]及文\[2\]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时，方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的意义，但均没有指明方程表示何种曲线。
本文试图通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的分析，从而阐明：当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交（以下简称“相交圆系”）时，上述方程一定表示圆；当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交（以下简称“非相交圆系”）时，上述方程可能表示何种曲线。
2.探究一：“相交圆系”方程一定表示圆吗？
定理1若直线l:Ax+By+C=0和⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则经过两交点的圆系方程：
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0一定表示圆。
证明:∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,
∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0,
∴(x+D+λA2)2+(y+E+λB2)2
=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)4,
判断上式是否表示圆，只需验证
T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)>0是否成立，∵⊙M与直线l相交，故有
－AD2－BE2+CA2+B2<D2+E2－4F2,化简得
(A2+B2)(D2+E2－4F)>|AD+BE－2C|,
∴(AD+BE－2C)2<(A2+B2)(D2+E2－4F),
∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)
=D2+E2－4F+2λ(DA+BE－2C)+λ2(A2+B2),
∵直线l为定直线，⊙M为定圆，
∴A,B,C,D,E,F均为常数，
∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数,
Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\]<0,∴T=f(λ)>0恒成立，
又圆心坐标满足：－E+λB2+E2－D+λA2+D2·(－AB)=－1,
∴x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆心在过M且与直线l垂直的直线上的圆。
定理2若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则经过两交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2
+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)一定表示圆。
证明：∵x2+y2+D1x+E1y+F1
+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,
∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x
+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,
∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0,
∴x+D1+λD22(1+λ)2+y+E1+λE22(1+λ)2
=
(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)4(1+λ)2,
判断上式是否表示圆，只需验证：
T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)>0是否成立，
∵⊙C1与⊙C2相交，
∴|O1O2|<r1+r2，
∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22
>(D12－D22)2+(E12－E22)2,
平方得D21+E21－4F1·D22+E22－4F2
>2F1+2F2－D1D2－E1E2。
又∵|O1O2|>|r1－r2|，故有
∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22
<(D12－D22)2+(E12－E22)2,
平方得
－D21+E21－4F1·D22+E22－4F2
<2F1+2F2－D1D2－E1E2,∴|2F1+2F2－D1D2－E1E2|<D21+E21－4F1·D22+E22－4F2。
∴T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)
=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)
+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2)。
∵⊙C1和⊙C2为定圆，故在上式中因D1,E1,F1,D2,E2,F2均为常数，
∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数,
∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]<0,
∴T=f(λ)>0恒成立，
又圆心坐标为(－D1+λD22(1+λ),
－E1+λE22(1+λ))，即
(－D12+λ(－D22)1+λ,
－E12+λ(－E22)1+λ)。
故方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示圆心在直线C1C2上的圆。
3。探究二：“非相交圆系”方程可能表示圆吗？
3。1直线和圆不相交
定理3若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相离，则方程
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0可能表示圆,点,或不表示任何图形。
证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0，∵直线l和⊙M相离,∴－AD2－BE2+CA2+B2>D2+E2－4F2，
平方得(A2+B2)(D2+E2－4F)<(AD+BE－2C)2,
∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)
=(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE－2C)+D2+E2－4F。
∵A,B,C,D,E,F均为常数，
∴T=0可视为关于λ的二次方程。
Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\]>0∴λ1,2=－2(DA+BE－2C)±Δ2(A2+B2)。
当λ=－2(DA+BE－2C)±Δ2(A2+B2)时，T=0，方程表示过M且与l垂直的直线上的点；
当λ>－2(DA+BE－2C)+Δ2(A2+B2)或
λ<－2(DA+BE－2C)－Δ2(A2+B2)时，T>0,方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆；
当－2(DA+BE－2C)－Δ2(A2+B2)<λ
<－2(DA+BE－2C)+Δ2(A2+B2)时，T<0,方程不表示任何图形。
定理4若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2
+Dx+Ey+F=0相切，则方程
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。
证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，
∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0，
∵直线l和⊙M相切,
∴－AD2－BE2+CA2+B2=D2+E2－4F2，
平方得(A2+B2)(D2+E2－4F)=(AD+BE－2C)2,
∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)
=(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE－2C)+D2+E2－4F。
∵A,B,C,D,E,F均为常数，
∴T=0可视为关于λ的二次方程。
Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\]=0∴λ1=λ2=－DA+BE－2CA2+B2，
当λ=
－DA+BE－2CA2+B2时，T=0，方程表示直线l与
⊙M的切点；
当λ≠－DA+BE－2CA2+B2时，T>0，方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆。
3.2两个圆不相交
定理5若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相离，则方程
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y
+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆、点或不表示任何图形。
证明：∵⊙C1和⊙C2相离，∴|C1C2|>r1+r2，
∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22
<
(D12－D22)2+(E12－E22)2,
平方得
D21+E21－4F1·D22+E22－4F2
<2F1+2F2－D1D2－E1E2。∵x2+y2+D1x+E1y+F1
+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,
∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,
∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)
=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)
+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2),
∴T=0可视为关于λ的二次方程。
∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]>0,
∴λ1,2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)。
当λ=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)时，
T=0，方程表示直线C1C2上的点；
当λ>－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)或
λ<－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)时，
T>0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆；
当－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)<λ
<－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)时，
T<0,方程不表示任何图形。
定理6若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0外切，则方程
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。
证明：∵⊙C1和⊙C2外切，∴|C1C2|=r1+r2，
∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22
=
(D12－D22)2+(E12－E22)2
，平方得
D21+E21－4F1·D22+E22－4F2
=2F1+2F2－D1D2－E1E2。
∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)
=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)
+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2),∴T=0可视为关于λ的二次方程。
∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]=0,
∴λ1=λ2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2(D22+E22－4F2)
=
D21+E21－4F1D22+E22－4F2。
当λ=D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T=0，方程表示两圆的切点；
当λ≠D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T>0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。
定理7若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内切，则方程：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y
+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。
证明：∵⊙C1和⊙C2内切，∴|C1C2|=|r1－r2|，
∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22
=(D12－D22)2+(E12－E22)2
，平方得
－D21+E21－4F1·D22+E22－4F2
=2F1+2F2－D1D2－E1E2。
∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)
=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)
+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2)。
∴T=0可视为关于λ的二次方程。
∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]=0,
∴λ1=λ2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2(D22+E22－4F2)
=－D21+E21－4F1D22+E22－4F2。
当λ=－D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T=0，方程表示两圆的切点；
当λ≠－D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T>0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。
定理8若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内含，则方程
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆,点,或不表示任何图形。
证明：∵⊙C1和⊙C2内切，∴|C1C2|<|r1－r2|，
∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22
>(D12－D22)2+(E12－E22)2，
平方得
D21+E21－4F1·D22+E22－4F2
<D1D2+E1E2－2F1－2F2。
∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)
=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)
+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2),
∴T=0可视为关于λ的二次方程。
∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]>0,
∴λ1,2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)。
当λ=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)时，
T=0，方程表示直线C1C2上的点；
当λ>－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)或
λ<－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)时，
T>0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆；
当－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)<λ
<－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)时，
T<0,方程不表示任何图形。
4.探究三：圆系方程中的圆有何共同特点？
定理9已知直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2
+Dx+Ey+F=0，若方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆（记作⊙N），则⊙N与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0有共同的根轴
Ax+By+C=0。
证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，
∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0。
∵A,B不同时为0，故⊙N与⊙M为非同心圆，
∴⊙N与⊙M的根轴方程为：
\[x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)\]－\[x2+y2+Dx+Ey+F\]=0，即Ax+By+C=0。
定理10已知⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若方程
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y
+F2)=0(λ≠－1)表示圆(记作⊙N)，则⊙N与
⊙C1,⊙C2均有共同的根轴
(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0。
证明：∵x2+y2+D1x+E1y+F1
+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,
∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x
+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,
∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0。
与⊙C1的根轴方程为(D1+λD21+λ－D1)x
+(E1+λE21+λ－E1)y+F1+λF21+λ－F1=0,
化简即得(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0。
同理可证与⊙C2有共同的根轴。
参考文献
\[1\]刘薇，陆丽滨。两圆无交点，圆系为何意。中学教研\[J\]。2010,1。
\[2\]姚华鹏。解析交点圆系方程的几何意义。中学教研\[J\]。2011,4。