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一个关于椭圆切线的猜想的否定之辨析

  • 投稿图伦
  • 更新时间2015-08-30
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江苏省兴化市周庄高级中学(225711)陆恒江

文\[1\]给出了如下定理:

图1定理1若A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴(长轴)的两个端点,P为椭圆上任意一点(不与A,B重合),直线PA,PB交长轴(短轴)所在直线于C,D两点,则椭圆在点P处的切线平分线段CD。(如图1)

针对定理1文\[2\]提出如下猜想:

猜想若A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)一直径的两端,P为椭圆上任意一点(不与A,B重合),直线PA,PB与AB的共轭直径所在直线分别交于C,D,则椭圆在点P处的切线平分线段CD。

文\[3\]否定了上述猜想,并给出了如下修正:

定理2若A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)一直径的两端,P为椭圆上任意一点(不与A,B重合),直线PA,PB与AB的共轭直径所在直线分别交于C,D。记A(x1,y1),P(x2,y2)。

(1)若A为椭圆的四个端点之一,则椭圆在点P处的切线平分线段CD。

(2)若x21+x22=a2,x1≠±a或y1≠±b,且椭圆在点P处的切线不平行于AB时,则椭圆在点P处的切线//CD。

(3)若x21+x22=a2,x1≠±a或y1≠±b,且椭圆在点P处的切线平行于AB时,则椭圆在点P处的切线不平分线段CD。

(4)若x21+x22≠a2,x1≠±a或y1≠±b,且x1≠±22a时,则椭圆在点P处的切线不平分线段CD。

(5)若x21+x22≠a2,x1≠±a或y1≠±b,且x1=±22a时,则椭圆在点P处的切线平分线段CD。

事实上猜想是正确的,而定理2中的(2)、(3)、(4)不正确,原因是定理2的证明过程中误将椭圆的共轭直径理解为斜率互为相反数,实际应该是斜率之积为-b2a2,下面给出猜想的证明。

证明:设P(acosθ,bsinθ),A(acosα,bsinα)(α≠kπ,k∈Z,α=kπ,k∈Z时参见定理1),则B(-acosα,-bsinα),AB的共轭直径所在的直线方程为y=-bcosαasinαx,直线PA的方程是y-bsinθ=bsinθ-bsinαacosθ-acosα(x-acosθ),联立

y-bsinθ=bsinθ-bsinαacosθ-acosα(x-acosθ),

y=-bcosαasinαx解得点C的横坐标是asin(θ-α)sinαcos(θ-α)-1,同理可得点D的横坐标是-asin(θ-α)sinαcos(θ-α)+1,又椭圆在点P处的切线方程是cosθxa+sinθyb=1,由cosθxa+sinθyb=1,

y=-bcosαasinαx解得点P处的切线与直线CD交点横坐标为

-asinαsin(θ-α),因为asin(θ-α)sinαcos(θ-α)-1-

asin(θ-α)sinαcos(θ-α)+1=2asin(θ-α)sinαcos2(θ-α)-1

=-2asinαsin(θ-α),所以椭圆在点P处的切线平分线段CD。

参考文献

\[1\]徐文春。关于有心圆锥曲线切线的一组性质\[J\]。数学通讯,2012(12)(下半月)。

\[2\]曾建国。有心圆锥曲线切线的一个性质的推广\[J\]。数学通讯,2013(5)(下半月)。

\[3\]杨志明。一个关于椭圆切线的猜想的否定与修正\[J\]。数学通讯,2013(10)(下半月)。