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给学生需要的数学概念课堂——三角函数周期性的教学实录与反思

  • 投稿礼部
  • 更新时间2015-08-30
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江苏省海门中学(226100)何振华

2014年11月26—27日,我校成功举办了省“教学新时空·名校课程”现场推进会暨江苏省海门中学第30届教学“百花奖”全国展示活动(江苏教育网进行了网络直播)。笔者有幸执教《三角函数的周期性》一课。三角函数的周期性作为三角函数的图像与性质的起始课,概念性强,本节课是笔者基于“给学生需要的数学概念课堂”的需求进行的一次实践和尝试。

一、课堂实录

1.创设情境

同学们,作为一个海门人,我们身处长江边,你有没有在长江边看过日出,今天老师请大家看一段长江边日出的视频。

下面是两个同学看完视频后的对话

甲:日出美吗?

乙:美。

甲:那我们去长江边看日出去?

乙:明天不行,我要上学。

甲:后天?

乙:不行,我要上学。

甲:没关系,日出天天可以看,等你放假后一起去?

乙:好的。

师:从两同学的对话中,你认为日出这一自然现象具有什么规律?

生:过了一定时间现象重复出现(定期重现),可用成语“周而复始”。

师:自然界和生活有许多“周而复始”的现象,我们的课前音乐《花心》的歌词中也有类似周而复始现象的描述,你发现了吗?

生:“春去春回来”“花谢花会再开”“黑夜又白昼”“潮起又潮落”。

师:很好,那我们最近研究的三角函数中有没有这种“周而复始”的现象?

生:有,三角函数线。

2.概念生成

那我们一起研究一下三角函数线的变化,以正弦线为例,利用几何画板演示正弦线的变化(如图1)。

师:正弦线的变化有什么特征?

图1每转过一圈,函数值就重复出现。

师:很好,如果用代数式表示?

生:sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。

师:上述等式成立与x的取值有关系吗?

生:没有。

师:如果我们记f(x)=sinx,那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。

那么自变量x的取值范围是什么?

生:任意角。

师:很好,那么你能用语言表述一下吗?

生:自变量每增加2π,函数值不断重复出现。

师:非常棒,这是不是和我们刚才研究的“日出”的周而复始现象很像,那么是不是只有正弦函数具有这一特征?如果还有其他函数,那么它增加的量是多少?

生:余弦函数也有这一特征,也是自变量每增加2π,函数值不断重复出现。

师:还有么?

生:正切函数也有这一特征,不过增量为π。

师:三角函数具有的这种自变量每增加一定的量,函数值重复出现的性质称为三角函数的周期性。

板书课题:三角函数的周期性。

师:如果有一个函数,自变量每增加1,函数值就重复出现,你认为它是否具有周期性?

生:有周期性。

师:也就是说,定量并不一定是“2π,π”,那么对于这些一般函数的周期性我们如何用数学符号语言刻画?

沉默

师:大家可以讨论一下?

学生讨论,约2分钟后。

师:你们有结论么?

生:我们组的结论是“对于函数f(x),如果存在常数T,使f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,常数T叫做周期函数的周期”。

师:很好,对这一小组的结论,大伙还有没有补充?

生:我们认为,应当是非零常数T。

师:理由?

生:若T为0,则自变量就没有增量。

师:非常好。还有么?

生:自变量x应为定义域内的任意值。

师:太棒了,这样我们就得到了周期函数的定义:“一般地,对于函数f(x),如果存在非零常数T,使定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期”。

3.概念理解

师:请看问题

问题1填空:对于函数f(x),如果定义域内的每一个x值,都满足,那么函数f(x)为函数。

生:我认为可以填 “f(x+T)=f(x)(T≠0)”;周期。

师:很好。还有其他答案么?

沉默,突然某学生提出。

生:我认为,根据以前学的奇偶性的定义,可以填“f(-x)=f(x)”;偶。

师:很好,函数的奇偶性和函数的周期性有些条件完全一样,我们可以类比学习。研究奇偶性时,我们要求函数的定义域关于原点对称,你知道为什么吗?

生:这是因为要使得x在定义域的同时,-x也要在定义域内。

师:非常好。那么你认为周期函数对定义域有什么要求?

生:x在定义域的同时,x+T也要在定义域内。

师:正确。

请看下一问题:

问题2函数y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函数?

生:不是,当x=10π时,10π+2π不在定义域内。

师:很好。看下一问题:

问题3判断下列说法是否正确,并简述理由。

(1)x=π3时,sin(x+2π3)≠sinx,则2π3一定不是函数y=sinx的周期;

(2)x=7π6时,sin(x+2π3)=sinx,则2π3一定是函数y=sinx的周期。

生:第一个正确,第二个不正确。判定一个常数不是周期函数的周期,举一个反例即可。

判定一个常数是周期函数的周期,要使定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x)。

师:回答的很好,理由总结的不错。这两个问题主要是考察大家对定义中每一个值的理解。再看下一问题:

问题4判断下列函数是否为周期函数?

(1)f(x)=cos2x;(2)f(x)=x;(3)f(x)=1。

生:第一个是周期函数,2π是它的周期;

师:f(x)=x是不是周期函数?

生:我找不到它的周期,不知道是不是?

师:f(x)=x的图像是递增的一直线,自变量增加一定量,函数值也在增加。所以不是周期函数。由此可见:单调函数不是周期函数。

生:f(x)=1应该是的,但我发现有很多数都可以作为它的周期。

师:能不能说的更具体点?

生:所有非零常数都是它的周期。

师:很不错,常数函数是周期函数,且周期为非零常数。你认为正弦函数y=sinx的周期为多少?

生:2π,4π,。。。都是它的周期,应该是k·2π(k∈Z,k≠0)。

师:余弦函数y=cosx呢?正切函数呢?周期函数的周期是否唯一?

生:余弦函数周期k·2π(k∈Z,k≠0),正切函数为kπ(k∈Z,k≠0)。周期函数的周期不唯一。

师:已知定义在R上周期函数f(x)的周期为T,则2T是f(x)的一个周期吗?你能推广么?

生:是,f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x), kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。

师:由于周期函数有无数个周期,对我们的进一步研究带来不便,你能否选择一个最具有代表性的来表述?

生:正周期,最小的。

师:那我们统一一下,规定:“最小正周期:对于周期函数f(x),如果在它的所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做函数f(x)的最小正周期”。

师:你知道:正弦函数的最小正周期为多少?余弦函数呢? 正切函数呢?

生:2π,2π,π。

师:周期函数的最小正周期一定存在么?理由?

沉默

师:那大家讨论一下。

生:我们组认为,最小正周期不一定存在,如y=sinx(x≤0)没有正周期,当然也就没有最小正周期。

师:很好,这是从有没有正周期的角度进行否定。那如果一个周期函数有正周期,是不是有最小正周期?

生:我们认为,还是不一定存在,反例是常数函数f(x)=1,就没有最小正周期。

师:非常棒。周期函数的最小正周期不一定存在,我们的定义“如果……,那么……”

从现在开始,我们研究的周期没有特别说明就是指函数的最小正周期。

4.概念运用

师:请看问题:求函数f(x)=cos2x的周期。

师:你认为我们可以用什么知识求函数周期?

生:周期函数的定义。

板演:解:设f(x)的周期为T,则f(x+T)=f(x),即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立。

cos(2x+2T)=cos2x对任意实数x都成立。

师:下面怎么办?还能用什么知识?

生:y=cosx最小正周期为2π这一结论。

师:怎么用?

生:把2x看成一个整体,

令u=2x,cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立。

又y=cosu的周期为2π,

所以使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的最小正值为2π,

所以2T=2π,即T=π。

所以函数f(x)=cos2x的周期为π。

师:利用了周期函数的定义,结合y=cosx最小正周期为2π这一结论,采用整体的观点研究,非常棒。

师:你能快速的求出下列函数的周期么?(1)f(x)=2cos2x;(2)f(x)=cos(2x+π3)。

生:它们的周期为π。

师:你认为函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的周期和哪些元素有关?

生:只和ω有关,和A,φ都没有关系。

师:不错,那函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的周期是。

生:2πω。

师:那函数f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的周期是多少?

生:也是2πω。

师:那如果函数f(x)=Asin(ωx+φ)的ω<0呢?

生:2π-ω。

师:函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,A≠0,ω≠0)的周期为2π|ω|。

这可以作为公式用来求正余弦函数的周期。

师:我们再拓展一下:若函数y=f(x)的周期为T,则函数y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期为多少?

生:T|ω|。

师:求三角函数的周期有哪些方法?

生:利用定义求解,也可以用公式求解。

5.概念拓展

师:很好,从数的角度我们有两种策略,那么形的角度呢?你认为周期函数的图像具有什么特征?

生:应该也不断重复。

师:非常好。你能不能根据图2中函数f(x)=cos2x的图像求出它的周期?

图2

生:只需看间隔多久即可,应该是π。

师:太棒了,这说明我们还可以利用图像求出函数的周期。

6.课堂小结

师:请你用几个关键词谈谈本节课的收获?

生1:周期函数、最小正周期。

生2:如何求函数的周期。

师:大家说的都非常好,老师也总结了几个关键词概括“定义、公式、思想、方法”,请大家认真体会。

下课。

二、执教感悟

笔者认为我们教学的对象是学生,因此数学概念课应从学生的需要出发,创设学生需要的概念课堂。

1.给学生需要的概念引入

概念引入的目的是让学生觉得数学概念不是凭空产生的,它来源于现实生活,具有广泛性,我们有研究概念的必要性。因此在教学设计时,要从学生的实际出发,选择符合学生熟悉的实例(或旧知)引入,从实例中提炼概念,让学生自然的接受概念,意识到研究概念的必要性。本节课选择日出引入,其实也可以选择课程表、钟表等其他实例引入,给学生需要的概念引入。

2.给学生需要的概念生成

学生需要什么样的概念生成?这就回归到另一个问题,我们的概念课为什么需要概念生成这一环节?概念生成的目的是通过概念生成过程培养学生能力的发展。因此笔者认为概念生成应由学生自主完成,如果是自然式生成,需要大量的时间投入,这是我们课堂不允许的,那么我们可以通过教学设计,让学生在我们预设下自主生成、发展。我们在教学设计中要依据认知的需要,从特殊到一般,从具体到抽象,层层深入,设计问题。通过问题串逐步推进学生思维的发展,让学生在自然而然学习中完成概念生成。

3.给学生需要的概念理解过程

数学概念是高度概括的,往往具有一定的抽象性。因此数学概念课应给学生需要的概念理解过程。那么学生需要什么样的概念理解过程?笔者认为采用什么方式很重要,这一环节我们可以设计一些小题,用小题带概念,强化概念。我们的小题应基于概念,可以是概念辨析,也可以概念运用,通过小题逐字逐句敲打概念,让学生自然而然的理解概念。

4.给学生需要的概念学习方法及数学思想

与知识相比,概念学习的方法更重要。因此数学概念课堂还因给学生需要的概念学习方法。让学生领悟从特殊到一般的归纳推理、特殊到特殊的类比推理、从一般到特殊的演绎推理;掌握独立思考、自主探究,不断反思、归纳、概括,大胆表述的学习方式;同伴互助、小组交流的合作研究模式。本课中对函数奇偶性的回顾,目的就是让学生将奇偶性和周期性类比学习,加深对概念的理解。数学概念的学习要注重方法的养成,数学思想的渗透。

5.给学生需要的数学知识

我们的数学课堂时间有限,学生的认知水平,决定了对某些数学知识只能搁置,而给学生需要的数学知识。鉴于高中数学对函数周期性的要求,主要围绕三角函数的周期性展开,因此本节课中对周期函数的定义的拓展,周期函数的某些性质没有过多深入。

总之,我们的概念课堂要从学生的实际需要出发,给学生于自然的概念引入,自由的概念生成,自主的概念探究,自在的学习过程,这正是李善良老师所强调的“教自然的数学,建自由的课堂”。

三、名师观察

在评课过程中,省数学教研员李善良博士及特级教师石鑫等作了点评,现摘录部分如下:

1.概念的引入自然

一节课的引入做的好不好,往往决定一节课的成败。作为是概念课的引入应当解决几个问题,学什么?为什么学?怎么让学生自然的学?本节课利用日出这一自然现象引入,贴近学生的生活实际,结合两学生的对话,引导学生对日出这一自然现象的规律的探究,结合课前音乐《花心》,进一步让学生感受周期现象的广泛性,激发学生研究周期的欲望,比较完善解决了概念引入的三个问题。

2.概念生成过程自然

概念生成过程是学生能力提升的过程,也是培养学生学习兴趣的过程。这一过程要舍得,要流畅。本节课在这块做足文章,通过问题链,从三角函数线到正弦函数的周期,拓展到三角函数的周期,再延伸到一般函数的周期定义,再从周期函数的定义到最小正周期的概念,层层深入,逐步推进学生思维的发展,学生在不知不觉中完成了概念生成,过程自然流畅。

3.概念理解过程自然

概念理解过程是进一步认识概念的环节,可以采用让学生研读概念和做题两种方式,本节课处理这一问题的方式是小题强化。通过几个小题,辨析、强化周期函数的定义中“非零常数T”“定义域内的每一个自变量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念,让学生自然的理解概念,起到很好的效果。

4.自然的教会学生如何探究概念

方法比知识更重要,所以数学课堂应该教会学生方法。本节课中周期函数的定义、难点的突破均采用小组探究,学生自主概括,其他同学不断发展、完善的方式,这是数学探究的基本策略;将“函数的奇偶性”和“函数的周期性”进行类比,注重知识之间的联系,迁移学习;课堂小结由学生归纳,这样做有助于培养学生总结、反思的好习惯。不仅仅给予学生知识,还自然的给予学生学习概念的方式方法。