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直角梯形在圆锥曲线中的应用

  • 投稿马汝
  • 更新时间2015-08-30
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江西省九江市第一中学(332000)江民杰

笔者在一次偶然机会,发现一特殊的直角梯形,可以迁移至圆锥曲线,并且可以解决一类问题,现与大家分享如下:

图1结论如图1所示,直角梯形PP1Q1Q中,FK⊥P1Q1,

P1Q1的延长线与PQ交于A点。若|AQ||AP|=|FQ||FP|,

则KF平分∠PKQ。

证明:由QQ1∥PP1可得

|AQ||AP|=|QQ1||PP1|,|FQ||FP|=|KQ1||KP1|,从而RtΔPP1K~RtΔQQ1K。

∴∠P1KP=∠Q1KQ。又FK⊥P1Q1,∴∠PKF=∠QKF,即KF平分∠PKQ。

下面将满足条件|AQ||AP|=|FQ||FP|的直角梯形迁移至圆锥曲线,可以得到一系列有趣的结论。

结论1过曲线y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)作弦PQ,准线x=-p2与x轴交于K点,则KF平分∠PKQ。

图2分析:如图2,过P,Q分别作准线x=-p2的垂线,

垂足分别为P1,Q1,由抛物线定义可知|PF||QF|=|PP1||QQ1|,

而|PF||QF|=|P1K||KQ1|,不难得到RtΔPP1K~RtΔQQ1K,

故|PK||QK|=|PP1||QQ1|,∴|PK||QK|=|PF||QF|,∴∠PKF=∠QKF。

该结论说明:过抛物线焦点F的弦PQ,存在另一个定点K,使KF平分∠PKQ。该结论可否改为更一般比呢?为达到研究的目的,我们对结论进行再分析。

图3再分析:当PQ⊥x轴时,由对称性可知,故可猜测K在x轴上;

当PQ与x轴不垂直时,延长PQ与准线交于A点。(如图3)假设KF平分∠PKQ,则有|PF||QF|=|PK||QK|,又|PF||QF|=|P1K||Q1K|,∴|P1K||Q1K|=|PK||QK|,

可知RtΔPP1K~RtΔQQ1K,从而|PP1||QQ1|=|P1K||Q1K|。

又由PP1∥QQ1,知|PP1||QQ1|=|AP||AQ|,又|PF||QF|=|P1K||Q1K|,∴|AP||AQ|=|PF||QF|。

当直线PQ绕F点旋转时,PQ与准线l的交点A满足|AP||AQ|=|FP||FQ|,故准线l可以看成满足条件|AP||AQ|=|FP||FQ|的动点A的轨迹。故K点在动点A的轨迹l上,又在过F点与l垂直的垂线上。

由于整个过程未涉及抛物线的定义,故结论1可以一般化。

结论2过曲线y2=2px(p>0)开口内一定点R(x0,y0)的动弦PQ,存在另一个定点K,使KR平分∠PKQ。

图4分析:如图4,假设存在K,使得KR平分∠PKQ,过K点作直线l,使l⊥RK。分别过P,Q两点作l的垂线,垂足分别为P1,Q1。借助于结论1的再分析知K点既在满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的直线l上,又在过R点与l垂直的垂线上。

下面先求满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的动点A的轨迹l的方程。

设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x0,y0),A(x,y)。

由|AP||AQ|=|RP||RQ|,知|AP||PR|=|AQ||QR|。令AP→=λPR→,则AQ→=-λQR→。

由AP→=λPR→,知x1=x+λx01+λ,

y1=y+λy01+λ,①

由AQ→=-λQR→,知x2=x-λx01-λ,

y2=y-λy01-λ,②

又y21=2px1③,y22=2px2④,

将①代入③得(y+λy0)2=2p(1+λ)(x+λx0)⑤,

将②代入④得(y-λy0)2=2p(1-λ)(x-λx0)⑥,

⑤-⑥得4y0yλ=4pλ(x+x0),即y0y=p(x+x0),

故l的方程为y0y=p(x+x0)。

再求过R(x0,y0)与l垂直的垂线y=-y0p(x-x0)+y0,由

y0y=p(x+x0),

y=-y0p(x-x0)+y0可求出定点K的坐标。

注意到l的方程为y0y=p(x+x0)恰为R(x0,y0)为极点时相对应的极线,故K点为极线l与过R与极线l垂直的垂线的交点。以此为背景可以命制数学试题。

如2013陕西高考21:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN长为8,

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ)已知B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点,若x轴是∠PBQ的角平分线,求证l过定点。

答案:(1)y2=8x;(2)l过定点(1,0)(该题实际上就是结论2的逆命题)

结论2的这种分析,对于圆、椭圆、双曲线可否类比?

结论3过曲线C:mx2+ny2=1(m,n≠0)开口内一定点R(x0,y0)的动弦PQ,存在定点K,使KR平分∠PKQ。

分析:由于结论2的分析未涉及抛物线定义,故结论2的分析过程可以迁移到结论3中,K点既在满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的动点A的轨迹l上,又要满足PK⊥l。

先求满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的动点A的轨迹l的方程。

设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x0,y0),A(x,y)。

由|AP||AQ|=|PR||QR|,知|AP||PR|=|AQ||QR|。令AP→=λPR→,则AQ→=-λQR→。

由AP→=λPR→,知x1=x+λx01+λ,

y1=y+λy01+λ。①

由AQ→=-λQR→,知x2=x-λx01-λ

y2=y-λy01-λ②

又mx21+ny21=1③,mx22+ny22=1④。

将①代入③得m(x+λx0)2(1+λ)2+n(y+λy0)2(1+λ)2=1,

即m(x+λx0)2+n(y+λy0)2=(1+λ)2⑤,

将②代入④得m(x-λx0)2(1-λ)2+n(y-λy0)2(1-λ)2=1,

即m(x-λx0)2+n(y-λy0)2=(1-λ)2⑥,

⑤-⑥得4mλx0x+4nλy0y=4λ,即l:mx0x+ny0y=1。

故A点轨迹就是R(x0,y0)相应的极线l,故K就是过R点的l的垂线与l的交点。

新编题R(1,0)是椭圆x24+y2=1内一点,过R的动弦PQ,是否存在K点,使KR平分∠PKR。若存在,求出K点;若不存在,说明理由。

分析:R(1,0)相应的极线l为1·x4+y·0=1,即x=4。过R点与l的垂线恰为x轴,故K点坐标为(4,0)。

综合结论1、2、3可得如下结论:

R(x0,y0)为曲线:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0(A,B不全为0)内(开口内)一点,过R的动弦PQ,总存在一点K,使KR平分∠PKQ。则点K在极线l:Ax0x+By0y+D·x+x02+E·y+y02+F=0上,又在过R点的l的垂线上。