江苏省徐州高等师范学校(221116)朱允洲
题目设S={1,2,3，…，100}，求最大整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。
这是2014年全国高中数学联赛二试第三题，命题组提供的解法是用数学归纳法及抽屉原理进行求解，技巧性较强，不容易想到。本文给出另一种解法。
解:为了叙述的方便，定义集合中元素的序：记A={a1,a2,a3，…}，规定a1<a2<a3<…。
显然，满足性质的S的k个非空子集至少是二元素集；k个子集中必含有集合S。
含有元素1的S的所有至少二元子集共有299－1个，它们显然满足题设中的性质，所以kmax≥299－1。下面证明kmax≥299不可能。
考察S的所有至少二元素子集，共有C2100+C3100+…+C100100=2100－101个，可分为两类：
（1）含1的至少二元素子集构成的集合记为M，其元素个数为299－1；
（2）不含1的至少二元素子集构成的集合记为P，其元素个数为C299+C399+…+C9999=299－100。
从上述分类方法可知：去掉（1）中的所有二元素子集就是含1的至少三元素子集构成的集合，其元素个数为299－1－99=299－100，若将这些集合中的元素1去掉，它们就属于集合P，反之亦成立。因此，任一不含1的至少m元素子集与含1的至少m+1元素子集应是一一对应关系，即{a1,a2,…,am}?{1,a1,a2,…，am}(2≤m≤99)。
显然，M与P中元素个数不可能大于或等于299。由于{2,3}∩{3,4}={3}，所以对于P中的集合，若满足题设中的性质，其个数应不超过299－101，即使将M中的所有集合都添加到P中，此时P中集合个数应不超过299－101+99=299－2，因此，若kmax≥299，则必定要从P中至少取一个集合添加到M中，使得此时M中的集合仍满足题设的性质。现从P中任取一集合，记为pr={a1,a2,…,ar}(r≥2)，则它与M中集合mr={1,a1,a2,…,ar}(r≥2)对应。又易知集合{1,a1}∈M，而{1,a1}∩pr={a1}，不满足题设中集合的性质。由pr的任意性知P中任一集合均无法添加入M中，即kmax≥299不可能，因此kmax=299－1。
注:运用上述方法，有
1。若将集合S中的元素个数可推广至n(n≥3)个，则kmax=2n－1－1。
2。如果将原问题题设中的性质改为：“对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最大元素与这两个子集中的最小元素均不相同。”结论仍成立，即kmax=299－1。