赵季锋
（郸城县第二高级中学河南郸城477150）
新的课程标准指出：数学要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展.但由于学生基础知识状况、兴趣爱好、智力水平、潜在能力、学习动机、学习方法等存在差异，接受教学信息的情况就有所不同，本文将从学生的思维入手，对不同层次的学生给予相应的学习指导。
一、用“文火”“炖化”麻木的心
许多学生谈“数”色变，对数学有一种恐惧心理，并有排斥倾向，表现为听课无精打采，缺乏学习愿望与动力，作业经常不交.对这样的学生，需要教师用自己的人格魅力去影响和纠正学生的认识，用出自真心的实实在在的道理，打开他们的心灵之锁，并让学生感受到教师的善意和真情，感受到教师对他们决不放弃的意志和耐心，让他们在“文火”中得以“炖化”.晓之以理，动之以情，最终是为了导之以行.当他们有行动时，要不断给他们制定努力的目标，并促其实现，更要细心周到地帮助他们解决学习中的困难。
二、对原认知结构相对欠完善的学生，引导他们自我完善和发展
有的学生虽然原有的基础差，但很渴望进步.针对这种情况，首先指导学生自己整理知识点，让学生在整理中熟悉：一章有几节，每节中有几个知识点，它们之间的联系是怎么样.把其中重点内容用“特写镜头”列表处理，对比其异同点，加深记忆，并告诉学生若以后忘记或有疑点，可按这个顺序查阅.通过这样的整理，不仅可培养学生的概括能力，又让学生掌握了对比学习法.通过知识之间的纵向联系，把孤立的知识组成知识链，再把知识进行横向联系，把知识链组成知识网，在不断地巩固和补充中使学生建立良好的认知结构.这样在形成新的认知结构中发展、提高学生的能力，也养成了他们在日后学习中有问题查资料、找资料，想出最完美的方法解决问题的习惯。
三、对于马虎、思维不严谨的学生，培养其良好的思维品质
许多学生平时粗心大意，其实这是思维的肤浅性.他们对概念不求甚解，对定理、公式、法则不考虑它们为什么成立，在什么条件下成立；做练习时，对照题型直接套用公式，不去领会解题方法的实质.针对这些情况，教师要以潜移默化的方式逐步培养他们的逻辑思维能力。
第一，指导学生严格遵守思维规律，养成严谨的思维习惯，要求他们课堂上回答问题要语言规范，使用数学语言，特别是熟悉公式时，一定要注意公式的局限性，应用时注意其严密性，推理过程做到言必有据。
第二，精选例题，设置 “陷阱”，提高学生的防错意识.如学生常对函数奇偶性概念理解不透，可选用例题：判断函数g(x)=x3-1+1-x3的奇偶性，许多学生会认这个函数既是奇函数，也是偶函数.其实，先考虑定义域：{x∣x=1}，则当x=1时，g(x)=0，但x= -1时，g(-x) 无意义，所以函数g(x)既不是奇函数，也不是偶函数.通过让学生在落入和走出误区过程中“吃一堑长一智”，养成严密的思维习惯。
第三，通过找别人的差错，提高自身的改错能力.教师可设计一些错解并告诉学生：“老师也可能会做错题.看看你们上课时能否及时发现，并能指出加以改进.”这样可调动学生的积极性，集中学生的注意力，培养了他们的观察力，让学生养成自觉地知错、改错、防错的习惯，让解题后的回顾、反思成为学生自觉的行为.
四、对有思维惰性的学生，帮助他们打破原有思维定势，提高自身素质
有的学生喜欢老师上课时每一点每一滴都讲清楚，就是“嚼烂”知识，再灌给他们，习惯于依样画葫芦去生搬硬套，一遇到运算难一点的题，就怕繁，“望题兴叹”.针对这种学生，要求他们一定要课前预习，布置一些简单的练习题，让他们用刚学到的知识恰能解决，从而获得成功感，刺激他们的求知欲；上课讲解例题时，要适当穿插数学思想方法，让学生在获取知识和运用知识过程中，掌握常用解题技巧，打破原来的思维定势；课后留有适当的思考题，让他们能思考并加以解决.这样引导学生自己去阅读、去钻研、去思考、去实践，使学生经常开动脑筋，掌握自己学习的全过程.
【例1】 已知椭圆C：x224+y216=1，直线l：x12+y8=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足∣OQ∣·∣OP∣=∣OR∣2，点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
解：由题设知点Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别是(xP，yP)，(xR，yR)，(x,y),其中x,y不同时为零，当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组
x2R24+y2R16=1,
yRxR=yx,
解得
x2R=48x22x2+3y2,
y2R=48y22x2+3y2.
做到这里，许多学生不敢再往下解.这时教师如果能够鼓励他们勇敢做下去，也许他们从此就有信心面对这种难题。
这样经常鼓励他们，他们在困难面前的决心、毅力、自我控制能力在今后工作中可受用终身。
五、对有一定基础，但缺乏观察、联想意识的学生可通过“MM教学法”培养学生的观察能力和联想能力
【例5】 某公司要印刷广告若干张，印刷版面面积为96cm2，并且在版面上、下各留1cm空白，左右各留1?5cm空白，问印刷版面的长和宽各为多少时，每张广告用纸的面积最小，并求出最小的面积.
这道应用题不难，但有一小部分学生对“印刷版面”与“广告用纸”之间的关系搞不清楚，设未知数时，位置颠倒.如果学生能从“广告纸→版面→报纸→试卷”进行联想，这种失误就不会发生.针对这种学生，可用“MM教学法（数学方法论的教学方法）”培养他们的联想力.立体几何中许多问题都是以课本中的图形为基本模型演变而来的，例如：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线。
探究题：
图1
1. 已知：如图1，三棱锥S-ABC中，∠BSC=90°，∠ASC=∠ASB=60°，
SA=SB=SC=a，求证：平面ABC⊥平面SBC.
分析：观察后得出SA与∠CSB的两边所成的角相等.
联想模型，知SA在平面SBC上射影是∠BSC的平分线SD.
由等腰、等边三角形性质知SD⊥BC，AD⊥BC.
则∠ADS为平面ABC与平面SBC所成的二面角的平面角.
不难求得AD=SD=22a，由勾股定理知∠ADS=90°，从而得证.
图2如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，
过A1、M、C三点的平面交棱C1D1于点N，求直线CD
与平面A1MCN所成角的正弦值.
分析：本题若 “过D作面A1MCN的垂线”， 则垂足落在哪里很难确定，但若注意到CD与CN，CD与CM所成的角相等，联想模型，则CD在面A1MCN上的射影为平行四边形的对角线，所求的角的正弦值转化为求在Rt△A1DC中一个锐角的正弦值.问题经过这么一转换就简单了.
通过这种模型教学法，强化学生观察问题、分析问题、探索问题、解决问题的能力，为学生以后用数学方法解决实际问题奠定了基础.
六、对优生，让他们保持兴趣，发挥创新的激情
对于优生，课堂上常让他们讲解思路，课后让他们当“小老师”帮助同学，并鼓励他们寻找新解法，这样常常会收到意想不到的好效果.
图3
【例6】 在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求△ABC是锐角三角形的概率.
解法1：记△ABC的三内角分别为α、β，π-（α+β），A=｛△ABC是锐角三角形｝，B=｛(α，β)｜0＜α、β＜π,0＜α+β＜π｝，
∴A=｛(α，β)｜0＜α、β＜π2且π2＜α+β＜π｝.
由图3知：所求的概率为P(A)=A的面积B的面积=
12×（π2）212×π2=14.
解法2：如图4所示建立平面直角坐标系，不妨设A、B、C1、C2为单位圆O与坐标轴的交点.将△ABC为锐角三角形记为事件A，则当C点在劣弧C1C2上运动时，△ABC即为锐角三角形，即事件A发生，故P（A）=14×2π2π=14.
图4___________图5
解法3：如图5，不妨设A为定点，单位圆的圆心为O,点A关于点O的对称点为A′,B、C为圆上任意两点，设∠AOB=α，∠AOC=β，并设点B关于点O的对称点为B′.
则Ω=｛(α，β)｜0＜α＜2π,0＜β＜2π｝，A=｛△ABC为锐
角三角形｝=
｛当0＜α＜2π时，△ABC为锐角三角形｝∪｛当π＜α＜2π时，△ABC是锐角三角形｝.
记A1=｛当0＜α＜π时，△ABC为锐角三角形｝=｛(α，β)｜0＜α＜π,π＜β＜π+α｝（如图6）
=(α，β)｜0＜α＜π
π＜β＜2π
β-α＜π.
图6___________图7
记A2=｛当π＜α＜2π时，△ABC为锐角三角形｝=｛(α，β)｜π＜α＜2π,α-π＜β＜π｝（如图7）
=(α，β)｜π＜α＜2π
0＜β＜π
α-β＜π.
图8
在直角坐标系αOβ中，作出Ω及A1、A2（阴影部分）所表示的面积（如图8所示），故所求的概率为P（A）=A的面积Ω的面积=14.
在这些解法中学生运用了运动的观点、分割思想等，体验到了数学的无穷魅力.
实践证明，经过完善、引导和探究，不但提高了学生的数学素质，还培养了学生的创新能力，而且学生还会认为数学的学习正如爱因斯达说的“把一生的东西忘光了，余下的东西就是数学”.即使公式忘了，但思维方式，解决问题能力，思维敏捷性，解决问题的方法，仍一直发挥着充分的作用。