文/刘晓丽 刘 银
【摘 要】空间几何体的体积求解过程中往往有这样的经验：对于一个非常规则的几何体或复杂几何体的体积求解仅仅从某一个方面进行研究不能得出最终的结果。本文从一个典型问题出发，多角度探究体积的求解方法，为“算两次”在求体积中的应用作铺垫。
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关键词 体积；算两次；等积法
引例 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′，棱长为a，P、Q分别为体对角线BD′上两点，且PQ=
，求三棱锥Q-APC的体积。
分析：本题中P、Q为动点，根据棱锥体积的公式利用棱锥的底面积和高进行求解。本题只知道PQ两点的相对距离，三棱锥的底面积和高无法确定。这是本题的难点，这也是供解题者发挥的关键点所在。通过探究发现，大致有如下四种解法：
解法一：将两点的位置通过平移加以固定，使得棱锥形状加以确定。因此可将点P沿着BD´移动到与点B重合，则有BQ=，则要求三棱锥Q-APC体积即为求三棱锥Q-
解法二：与解法一思路相通，将点Q平移到与点D´重合，则有PD´=，要求三棱锥Q-APC体积即为求三棱锥D´-APC的体积，据题意，三棱锥底面为三角形APC，高为点D´到平面APC的距离，然而高和底面的求解都存在一定的困难。此时用割补法来进行体积的求解。由题意可知
解法四：由于三棱锥特有的几何特征，将三棱锥的任一个端点看作棱锥顶点，都能得到一个三棱锥，因此在求解三棱锥的体积时，通过转换顶点的方式来对棱锥体积进行求解以简化运算。这种计算体积的方法本质上是算两次，通常称为“等积法”。本题可以借助等积法转换顶点。有VQ-APC=VA-PCQ，因此只要求出VA-PCQ即可。已知三棱锥A-PCQ在三棱锥A-BCD´中，且两棱锥共顶点，且棱锥A-PCQ的底PCQ在棱锥
总之，这样一道题，利用正方体具有的几何特性，如：对称、各棱长相等、边角关系等等，以及P、Q两点的特殊位置给本题的求解带来很大的发挥空间，能够产生很多体现不同数学思想和方法的解法。在解法一和解法二中利用了极限思想，在解法二和解法三中运用了割补法，在解法三和解法四中运用三棱锥体积求解的等积法即算两次得以贯彻，并且各种思想在四种解法中相互贯通。由此，能够通过这样一道题目较为具体地体会到在数学解题中，应该首先把握题目中最本质的联系，依据具体的数学思想和解题方法，紧扣问题的关键点逐步地解决问题。
（作者单位：江苏省镇江市第一中学）