文/徐一双
教学“有余数的除法”，学生学习的起点应该定在哪里呢？学生对有余数的除法了解多少？学生接触过除法竖式吗？……一系列的问题萦绕在我的脑海里。因此我决定在上这节课前，先对学生摸摸底。一方面，了解学生对“有余数除法”原有的基础和经验是什么；另一方面，也便于我做好教学前的准备工作以及教学时该采取怎样的措施。于是我随机对15位学生进行了调查。
根据调查，我们发现在学习有余数除法前，学生已经认识了除法，能比较熟练地口算表内除法，并积累了比较多的把一些物体进行平均分的活动经验，知道要把一些物体等分，可以用除法计算。至于这些物体能不能正好分完，对学生来说，在没有计算或进行分的实践之前，是不知道的。而关于有余数的除法算式，调查中有60％的学生没有见过这样的算式，有27％的学生曾经见过，但对算式中余数的意义理解的很含糊，有13％的学生能正确地理解有余数除法算式的意义。从调查的结果可以看出，关于有余数除法的知识，孩子自身已有的认知水平和生活经验几乎是空白的。因此通过调查分析学生的学情，深入研究教材后，我确定了第一课时的教学目标和教学思路。下面是我的教学片段。
案例描述
环节一：动手操作，感知余数
1.用画图的方式，画一画8根小棒可以摆几个正方形？
2.画一画，11根小棒可以摆几个正方形？为什么还剩下3根？
3.画一画，13根小棒可以摆几个正方形？为什么还剩下1根？
4.观察比较3次摆小棒的结果，有什么相同点和不同点？
环节二：探索交流，认识余数
1.用一道算式来表示用8根小棒可以摆几个正方形。
2.用你喜欢的算式表示出11根小棒可以摆几个正方形，还剩下几根。
（1）学生尝试列式。
（2）展示分析学生的算式。
①学生1：2×4＋3＝11（根）
师：说说这道算式的意思。
生：4根小棒可以摆一个正方形，2个正方形要8根小棒，再加上剩下的3根，一共是11根小棒。
师：你真棒，用这道算式算出了一共有11根小棒。
②生2：11-8=3（根）
师：说说这道算式的意思。
生:一共有11根小棒，摆2个正方形用去了8根，还剩下3根小棒。
师：你真厉害！你用这道算式算出还剩3根小棒。
③生3：（11-3）÷4=2（个）
师：说说这道算式的意思。
生:一共有11根小棒，去掉多出的3根小棒，还剩下8根。8根小棒，每4根摆一个正方形，可以摆2个。
师：你真了不起！你用这道算式算出了可以摆2个正方形。
④生4：11÷4=2……3
师：说说这道算式的意思。
生：一共有11根小棒，每4根摆一个正方形，可以摆2个正方形，还剩下3根。
师：2表示什么？是图上的哪部分？3表示什么？是图上的哪部分？
生：2表示可以摆2个正方形；3表示还剩下3根小棒。
师：为什么要点上6个小圆点？
生：表示11根小棒摆了2个正方形后还剩下3根。
师：你真是数学天才，用一道算式就解决了两个问题，让我们一看就知道11根小棒，每4根摆一个正方形，可以摆2个，还剩下3根。
（3）比较沟通：哪道算式最容易让人看出11根小棒摆的结果？为什么？
（4）介绍有余数除法算式中各部分的名称。
（5）尝试练习：你能用有余数的除法算式表示出13根小棒摆的结果吗？
3.比较沟通3道除法算式。
4.小结并揭示课题。
5.尝试练习。用一道算式表示出19根小棒它可以摆几个正方形，还剩几根。
环节三：猜想辨析，发现规律
1.猜想一
（1）有一些小棒，不知道有多少根，现在想摆成一个一个的正方形。想一想，摆完后可能会出现什么情况？
（2）如果摆完后还有剩下，那么剩下的可能会是几根？为什么？
（板书：（ ）÷4＝（ ）个……（ ）根）
（3）你认为对这个余数有什么要求？
2.猜想二
（1）如果摆的是三角形，那么余数可能是几根？
（板书：（ ）÷3＝（ ）个……（ ）根）
（2）对这个余数你有什么要求？
3.猜想三
（1）如果摆的是六边形，那么对这个余数有什么要求？为什么？
（板书：（ ）÷6＝（ ）个……（ ）根）
4.观察比较，发现规律。
观察三道算式，你认为余数和什么有关系？
案例反思
这节课，学生亲身经历了“问题驱动下的动手操作——算式与意义结合的自主探究——经验支持下的规律发现”数学活动过程，使学生数学的知识技能、思想方法、情感态度得以整体地落实。
一、在动手操作中感悟余数的意义
“余数”的概念对学生来说并不难，但难就难在如何围绕主题展开，让学生充分感知余数，领悟余数的含义。教学中我让学生用画正方形的方式来代替摆小棒，让学生在画图的活动中先形成有“剩余”的表象，并在此基础上逐步建立余数的概念。首先我让学生分别画出8根、11根、13根小棒可以摆几个正方形？画完后，再让学生观察比较有什么不同，学生很自然的就得出结论：把小棒平均分后有两种不同的结果，一种正好分完，一种是有剩余的。这样教学，一方面从数学知识内在的逻辑关系出发，让学生根据原有的除法意义动手操作，促进除法意义的迁移，建构完整地认知结构；另一方面从学生认知心理出发，不能正好分完和以前的认知经验产生了冲突，激发了学生的求知欲望。这一过程中学生的动手操作，是在为告诉确实有不能正好分完的事实而进行的实践验证。这种在问题驱动下的动手操作，学生积极主动，思维集中，体验真实，有助于有余数除法含义的建构。
二、在交流比较中明确算式的含义
现代教学思想的一个重要内容，即是认为学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是经历一个“自我否定”的过程。同样的，关于算式是否正确、是否优化，也必须让学生经历尝试、比较、自我完善的过程。所以教学中在解决“用一道自己喜欢的算式表示出11根小棒可以摆几个正方形”这个问题时，我先让学生尝试计算，一能了解学生的起点，二能呈现不同的计算方法，因为学生不同的方法是课堂宝贵的教学资源。然后通过学生的介绍、老师的评价、算理的补充，动态地理解各种算式的含义。有了学生之间的交流、个体的自我反思，当学生选择最能体现用11根小棒摆正方形的结果的算式时，学生便不约而同的选择了有余数的除法算式。这种选择是学生自发的，是他们对有余数除法算式的肯定，表现了他们对有余数除法算式各部分意义的深刻理解，也是他们在交流比较反思过程中的体现。
三、在活动经验中寻找余数的规律
教材中安排了一组有余数的除法算式，让学生通过观察，得出余数一定要比除数小的结论。然而这样做，学生的发现却只是停留在表面，他们不一定能真正理解为什么余数一定要比除数小的道理。要让学生发现余数比除数小的道理，重要的是激活学生相关的经验。出于这样的考虑，教学时我出示了“一捆不知根数的小棒及算式（ ）÷4＝（ ）个……（ ）根”，让学生判断余数可能是几根。判断唤起了学生的经验，借助前面操作活动的直接经验，学生敏锐地得出“余数一定要比4小”，并清楚地说明了理由。同样，凭借活动经验，学生轻而易举的说出了摆三角形后的余数一定要比3小，摆六边形后的余数一定要比6小，从而使学生领悟到余数和除数有着一定的关系。紧接着，我再引导学生观察比较这几道算式：余数和除数之间有什么关系？学生很快就发现余数不仅不能比除数大，而且也不能与除数相等。正因为有了经验的支持，这个规律的发现已是水到渠成，并且学生对这一规律的理解是全面而深刻的。可见，对学生的知识基础、生活经验多一分了解，多一分研究，我们的教学也就会多一分有效。
（作者单位：浙江省永嘉县实验小学）