高春香
内蒙古财经大学统计数学学院 010051
者简介:高春香，女。内蒙古财经大学统计数学学院。职称：副教授。
研究方向：高等数学教学及其教改的研究）
【摘要】结合高等数学积分中的教学实践，阐述了对称性在定积分、二重积分、三重积分计算中的应用, 归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分. 运用对称性方法计算积分,一定要仔细验证积分区域和被积函数所满足的对称性质,否则,将会造成对称性方法的不当使用。
教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 对称性 定积分 重积分 平面区域
积分在数学分析中占有很重要的地位,积分的计算方法有很多种,许多文献和书籍都对其有较深的探讨,但是对利用对称性来计算积分的方法研究的不多.笔者通过多年的教学实践，深知对称性在积分运算中有着很重要的意义,通常可以简化计算.本文研究了对称性在积分运算中的应用,归纳总结出利用平面区域的对称性来计算定积分、二重积分、三重积分的方法.
1.定积分的对称性
定理 利用积分区间关于原点的对称性和函数的奇偶性,有:若x∈［-a,a］,则
小结 这个例子运用换元法,将非积分上下限对称问题变形为积分上下限对称问题,巧妙运用定理对问题进行了解答。
小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题。
通过上面的举例分析,可以发现对称性方法是积分计算中一种常用且有效的方法,利用对称性技巧,可以大大简化积分的运算。只要积分域是对称的,就可以用上面介绍的方法进行积分计算.在进一步明确了被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化积分的计算之后，则可以应用上述定理对各类积分进行奇偶性化简之后计算.但是,运用对称性方法计算积分,一定要仔细验证积分区域和被积函数所满足的对称性质,各类定理适用的条件，否则,将会造成对称性方法的不当使用。
教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献
［1］ 谭泽光,刘坤林.微积分（下）［M］.清华大学出版社,2006.
［2］ 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.
［3］ 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.
［4］ 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.