湖北省武汉市第二十中 程慧
【摘要】错题本是学习中的反思工具。在高中数学反思性教学中，正确运用错题本可以有效避免学生在同一个问题上出现多次错误。文章在对错题本的相关研究进行梳理的基础上，就错题本的正确使用展开了详细阐述。
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关键词 错题本；高中数学；解题；反思性学习
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671-0568（2015）21-0025-03
数学的反思性学习是数学学习活动中的重要环节，也是当前数学教学中最薄弱的环节。平时教学中经常会遇到这种现象，一些学生总会在某些地方一错再错，学生对自己的错题不会管理，缺乏意识与方法，对反思缺少兴趣，也不知道如何反思。学生很多知识结构是零散的，对问题的认知也只是流于表面。基于这一现状，急需寻求一种切实可行且有效的方法，增强学生学习能力。
本研究主要从新课程改革的背景入手，提出了进行数学解题反思的有关学习策略——错题本活动。以我校（此处指湖北省武汉市第二十中，下文同）高（2）（3）两班学生为研究对象，通过对错题本案例分析法论述了数学解题反思的内容，阐明反思的重要性及作用，并探讨错题本在数学解题反思中的作用。通过教师的引导，促进学生在错题积累中不断反思，在不断的反思中积累经验，逐步形成反思的意识和习惯，找出适合自己的学习方法，提升解题能力，最终达到学会学习的目的。
一、建立错题本应遵循的原则
数学学科有许多公式、规律，也有不少的特例。而这些特例往往是考试时命题者设置的“陷阱”，一不小心就会失误。因此，建立一本错题本对特殊的知识点加以防范，是免入“陷阱”的好方法。建立错题本，必须遵循以下原则：
1.及时性原则。错题一旦出现就应趁热打铁，及时把它写在错题本上，并对其进行归类、整理、分析，找出正确的解题思路，错误的原因、另解等，这样比较符合学生学习认知规律。
2.典型性原则。记入错题本的题目应是易错题，或者错得很典型的这类题。最好是本章知识的重难点。整理错题也因学习的内容，错题的情况分阶段进行，通过整理题目的过程也可以让学生对所学知识网络进行重新回顾和建构。
3.持久性原则。错题整理需要长时间坚持才会收效。中学生的心理和生理特点决定了他们的行为容易反复，容易三分钟热情。因此，错题本的建立和管理需要教师和学生共同努力、不断积累。
4.实用性原则。建错题本的目的是为了整理错题，梳理自己曾经出现过的错误思路，归纳正确分析问题的方法和思路，留给自己定期回顾以防下次出现类似错误。所以，错题本应该依据自己的实际情况和习惯去整理，并极大限度地为自己所用。
二、错题本活动的具体步骤
为了促进学生的反思能力，笔者设计开展了错题本活动，以此激发学生反思数学的兴趣和能力。让学生不断进行错题反思，在不断的反思中积累形成自身的学习经验，最终达到学习的目的。
错题本反思分为三个阶段：第一阶段：尝试把自己有典型错误的题目按不同的类别记在错题本上，并书写错解和正确解。第二阶段：尝试写出错误的原因，并说明题目的类别、所用的知识点、多解、变式等。第三阶段：通过分组交流错题反思和评比精选错题来激发学生的学习热情，每位同学展示错题反思一份，并评选出“反思之星”。
第一阶段：反思典型错误的题目。刚开始接触错解本，学生普遍感觉很新鲜。但具体如何写、写些什么，学生都没有概念，只是抄一些错解和正解。因此，笔者先向学生介绍错题本其它在实践中对数学学习的帮助和一些优秀错题本的案例。同时，为了使学生所学的能促进反思能力，笔者借助一些培养学生反思能力的文献研究，提供给学生一些侧重反思的素材和反思策略解题及反思策略指导。
第二阶段：尝试写出错误的性质、原因。经过第一阶段式的数学错题反思。学生的反思内容从最初简单的错题订正、错因分析，开始变得有话要说。张欣怡同学在一次错题反思交流中谈到：“我慢慢开始喜欢写错题反思了，感觉通过对函数概念的分析，让概念清晰了许多，感觉许多有关函数的题目都与概念有密切关系，能解出原本不会的难题，觉得函数也不是那么困难了。”但也有不少学生反映：写数学错题反思太麻烦了，感觉没什么效果，还不如多解几道题更高效。鉴于学生对解题的兴趣，与不知该写什么的困惑，笔者在第二阶段提供学生反思他们对问题的理解的机会。让学生选择一些有探索价值的问题进行变换条件、条件弱化、条件一般化、条件开放化、条件类比等多角度、深层次的连环变式，让学生进行一题多解、一题多用，激起学生思维的火花和强烈的求知欲望，学生在经历一系列的思维碰撞后对问题本身就会有深刻的认识，就会举一反三、触类旁通，学生反思的内容也开始逐渐丰富、充实起来。
第三阶段：设立示范评比与考评奖励的机制。
1.每班每月开展阶段交流展示会，由每个研究小组选出一名代表交流一个月错题反思心得和有研究价值的错题。由全班进行投票表决选一名优秀同学并给予奖励。在总结阶段由每次获得优秀的同学进行再次评比，选出“反思之星”。
2.每人精选错题一份进行展示：评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名。
三、学生错题本案例分析
1.反思学习过程，加快了学生由“要我学”变成了“我要学”的进程。
案例1：朱学翀同学遇到的问题：他说一道题，所给的条件，问的问题看似相同的意思，如果没有认真审题，理解题意的话，再有思维、逻辑也是空谈：
例1：在等腰Rt△ABC中，∠C=90°。
（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率。
（2）在∠CAB内作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率。
这两问是十分简单的题，但当他们分开考查时却难倒了很多人。因为他们不知道求的到底是什么，也就是概率的基本事件空间“1”是什么。第一问是在线段上取点。所以概率应该是线段长2度比。而第二问是在∠CAB内找射线，概率应该是角度比，一定要仔细审题和耐心思考题目中的隐藏条件。同样的问题张雯莎同学也深有体会，她说：“同一类型的题目，出发角度不一样，基本事件不一样，结果完全不同，所以我们要看清问题的本质。”通过这道题她找出了同类型的题：
变式1：在等腰Rt△ABC中，在斜边上任取一点M，求AM＞AC的概率。
变式2：在等腰Rt△ABC中，在∠ABC内部作一条射线CM与AB交于M，求AM＞AC的概率
例2：过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
错解：已知圆C：（x-3）2+y2=4，设M（x，y），CM⊥AB，x·（x-3）+y·y=0∴x2+y2-3x=0
胡茵同学指出她这个题出错的原因是没有通过图形考虑到题目的限制条件，中点的轨迹应该是圆内的部分，没有进行检验舍去多余的解，这也是求轨迹方程中容易出错的地方。她又搜集了同类题，如过A（a，0），作圆O：x2+y2=R2（a＞R＞0）的割线，求割线被圆O截得弦中点的轨迹。
她谈到：“通过以上两例，发现我所掌握的知识有很多不足。原来老师教的知识我没有好好地学，现在要再翻翻书，补补二次函数的图象和数列的概念。为了完成错题本，我必须回顾这段时间学了什么，做了什么，这为养成思考的好习惯打下了扎实的实践基础。通过错题反思让我清楚了自己的不足和需要，我会针对这些情况自己去找材料或题目进行修补，原来由老师要我学变成了现在我自己想学的情况，我感到很高兴，我要真正主动学习了。”
2.反思学习内容，加强了学生对知识结构的梳理，深化了对知识内容的理解，内化了概念的本质属性。一个数学问题从多个角度加以思考，这是思维的发散性；同样，多个数学问题从同一个角度加以思考，这就是思维的收敛性。能及时对多题一解进行反思，从中感悟出数学模型，将有利于思维的培养。当一种思考方法在不同情境下多次奏效，就会起到积极的强化作用。徐俊杰同学错题本中例题：
例3：已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2，动圆M与圆C1，C2相切，求动圆圆心的轨迹。
易错点：该题需考虑四种情况：①都外切；②都内切；③与C1外切C2内切；④与C1内切C2外切而且后两种情况还需要考虑x的范围。
反思变式：已知圆M1：（x+4）2+y2=25，圆M2：x2+（y-3）2=1，动圆P与这两个圆都相切，试求动圆圆心P的轨迹。他说到：“通过前面所学几个易错题，我们了解了圆圆相切需要分类讨论的几种类型，了解了通过定义去处理问题，了解了求完轨迹后需结合图形和题意进行检验，本题中所求出动圆圆心的轨迹与两圆有公共部分，即有两圆内部的部分要去掉。所以轨迹是双曲线一支且在两圆外部的曲线。”通过错题反思让我对这一类型问题有了更清晰的认识，考虑问题也更细致了。高中生在解数学题时，如果思维不严密，则容易出现审题不仔细，理解欠准确，讨论欠全面，分类欠严密，考虑欠周到，以偏概全，忽视题中的隐含条件，忽视对字母的讨论，忽视定义域和值域的变化，忽视特例的补证等，导致遗憾之错。
3.反思解题过程。既优化了学生解题的方法，还丰富了学生的见解和策略。
例4：有一个四棱锥S-ABCD，每一个顶点染色，同一棱两端异色，如果有5种颜色可供选择，问有多少种方法？有5种颜色可选择，可先定SAB共5×4×3种方法，然后分AC同与AC不同共1×3+2×2种方法。所以共5×4×3×（1×3+2×2）=420种方法。
变式1：有4种颜色可供选择：4×3×2×3=72。
变式2：用4种颜色涂色：4×3×2×2=48。
变式3：从5种颜色中选4种颜色涂色：5×4×3×（1×2+2×1）=240。
反思：没有要求５种颜色都用到，则在讨论CD时，情况会多一些，变式３可以开始从５种中选４种，再化归为变式２解决，或者开始仍先定SAB共5×4×3种，在讨论若CA同色，D只有两种选择（因为只有四种色），两种方法切入点不同，但结果相同，第一种方法相对简单。
例5：已知P存在实数x使4x+2x·m+1=0成立。若┐P是假命题，求实数m的取值范围。
错解：┐P是假命题，∴P为真命题，即4x+2x·m+1=0有解，△=m2-4≥0？圯m≥2或m≤-2。
错因：只考虑了根的存在，没有考虑2x＞0，方程应该有正根的条件：
案例3从上面学生的错题反思中可以看出，他们反思的过程一般是这样的：我是用哪种方法探索的？选择的是哪一条途径？后来发生了什么问题？要作出调整吗？解题的关键在哪里？自己的思路有哪些不足？需要怎么改进？别人的方法可行吗？好在哪里？有什么需要借鉴的？等等。坚持这样的反思就可以总结出带有规律性的经验，可以是解题思想方法方面的，也可以是解题策略方面的。通过这样的反思还有利于学生思维监控能力的提高，培养了学生学习的能力。
如何在无尽的知识中学得更多知识，就需要有一种好的学习管理知识的方法。错题本是一种有效的学习反思工具。学生通过定期归纳和整理错题，让自己模糊的或者易错的知识清晰起来，逐步学会有计划地学习，在学习新知的同时也能不断联系旧知，构建了自己的知识网络结构，让知识能融会贯通，以一题带动一片，大大提升了自身的解题能力。错题本已经成为一种有效的学习反思工具，也需要教师在今后教学工作中不断创新改进，持之以恒，让错题反思真正成为一种习惯。
（编辑：杨迪）