［作者简介］李瑞阁（1964—），女，河南镇平人，硕士，教授，研究方向：统计预决策、经济统计、医药统计等。
1 问题的提出
商业竞争大战中，商家往往要求预测未来一段时间内的销售状况，由决策部门根据以往的销售状况及最新市场信息综合分析做出预策。
若预测滞销，通常会选择打折销售或有奖销售等促销方案，避免商品积压且快速回笼资金；反之，畅销会选择涨价销售或大量购进等方案，避免其脱销且获得丰厚利润。然而打折处理或有奖销售可能会减少利润或亏本；多进货将投入更多资金，也会影响利润；况且预测和实际销售也会有出入，故决策前应综合考虑，全面分析并做出合理决策。
以下首先利用贝叶斯公式及条件数学期望计算平均利润，给出一种根据销售状况做出的合理预测方案，在此基础上，利用决策树理论进行决策寻求优化的销售方案。
2 商家风险预测的方法
2．1预测模型建立
资料表明：某商场预测未来一时间段内某商品以概率p畅销。已知两套销售方案：
方案1若商品畅销可获利润a1万元，若商品滞销可获利b1万元；
方案2若商品畅销可获利润a2万元，若商品滞销可获利b2万元。
为了正确做出决策，经一段时间试销，预测畅销的实际畅销的概率为q1，实际滞销的概率为1－q1；预测滞销的实际畅销的概率为q2，实际滞销的概率为1－q2，据此分析由p值大小预策优化销售方案。不妨设：
A1={预测畅销}，A2={预测滞销}；
B1={实际畅销}，B2={实际滞销}；
Xi={采取第i个方案所得利润}（i=1,2）。
根据题意知，P(A1)=p,P(A2)=1－p，P(B1A1)=q1，P(B2A1)=1－q1，P(B1A2)=q2，P(B2A2)=1－q2。由贝叶斯公式知：
P(A1B1)=P(A1)P(B1A1)P(A1)P(B1A1)+P(A2)P(B1A2)=11+(1/p－1)q2/q1
P(A2B1)=1－P(A1|B1)=(1/p－1)q2/q11+(1/p－1)q2/q1
类似地，
P(A1B2)=11+(1/p－1)(1－q2)/(1－q1)，P(A2B2)=(1/p－1)(1－q2)/(1－q1)1+(1/p－1)(1－q2)/(1－q1)
因此，实际畅销商品采取第一、二方案的平均利润分别为：
E(XiB1)=aiP(A1B1)+biP(A2B1)i=1,2（1）
实际滞销商品采取第一、二方案的平均利润分别为：
E(XiB2)=aiP(A1B2)+biP(A2B2)i=1,2(2）
式（1）中两式相减，得实际畅销商品采用一、二方案平均利润之差为：
E(X1B1)－E(X2B1)=a1－a21+(1/p－1)q2/q1+(b1－b2)(1/p－1)q2/q11+(1/p－1)q2/q1（3）
式（2）中两式相减，得实际畅销商品采用一、二方案平均利润之差为：
E(X1B2)－E(X2B2)=
a1－a21+(1/p－1)(1－q2)/(1－q1)+
(b1－b2)(1/p－1)(1－q2)/(1－q1)1+(1/p－1)(1－q2)/(1－q1)(4）
因此得到如下决策条件：
第一，如果b1>b2，则：
一是式（3）大于0，即实际畅销商品采取第1方案的平均利润大于第2方案当且仅当
1p>1－a1－a2b1－b2·q1q2；
二是式（4）大于0，即实际滞销商品采取第1方案的平均利润大于第2方案当且仅当1p>1－a1－a2b1－b2·1－q11－q2。
第二，如果b1<b2，则：一是式（3）大于0，即实际畅销商品采取第1方案的平均利润大于第2方案当且仅当
1p<1－a1－a2b1－b2·q1q2；
二是式（4）大于0，即实际滞销商品采取第1方案的平均利润大于第2方案当且仅当
1p<1－a1－a2b1－b2·1－q11－q2。
2．2预测模型应用
案例某服装商场根据以往资料，预测服装在未来一段时间内畅销的概率为p，滞销概率为1－p，两种销售方案如下：
方案1打折销售。预计商品畅销可获利6万元，而滞销可获利2万元。
方案2重新包装商品，外加广告宣传，原价销售。预计商品畅销可获利10万元，而滞销将损失4万元。［1］
为正确做出决策，经试销发现预测畅销的商品实际畅销率为0．6，实际滞销率为0．4；预测滞销的商品实际畅销率为0．3，实际滞销率为0．7。由此p值大小选取最佳销售方案。
已知条件可知q1=0．6，q2=0．3，a1=6，b1=2，a2=10，b2=－4。由决策条件分析可得：
当p<37≈0．43时,式（3）、式（4）均大于0，说明不论是实际畅销还是滞销的商品，采取第1方案的平均利润均大于第2方案。因此商家一旦预测到商品滞销可能性大，即可采用第1方案打折销售。以下用决策树方法讨论方案选取问题。
3 优化的决策树方案
利用风险型决策方法中的决策树理论可将复杂的营销策略，通过决策树图直观、形象、方便地展示出来，可将各种备选方案、自然状态及损益值简明地绘制在一张图表上，便于分析决策。
用决策树做风险决策，首先要绘制好决策树；其次用反推决策树方式进行分析，最后确定合理的最佳方案。本问题按照决策树的制作原理，［2］绘制决策树图，如下图所示。
利用反推决策树方法，可计算上述实例q1=0．6，q2=0．3，a1=6，b1=2，a2=10，b2=－4,结果如下：
第一步：从生产方案的选择考虑（第一阶段决策）
计算各组即⑥⑦⑧⑨⑩的期望利润值为：
E⑥=6p+2(1－p)=2+4pE⑦=10p－4(1－p)=14p－4
E⑧=6×11+1/p－1/2+2×1/p－1/21+1/p－1/2=5+1/p1+1/p－1/2
E⑨=10×11+1/p－1/2－4×1/p－1/21+1/p－1/2=26－1/p1+1/p－1/2
E⑩=6×11+71/p－1/4+2×71/p－1/41+71/p－1/4=5/2+7/2p1+71/p－1/4
E=10×11+71/p－1/4－4×71/p－1/41+71/p－1/4=17－7/p1+71/p－1/4
第二步：选择期望利润较大的方案，摒弃期望利润小的方案，作为第一阶段选定的方案。
一是只做先验分析。比较使E⑥>E⑦，可得p<0．6，此情形选择方案1打折销售，否则采取重新包装。
二是先试销后进行分析。比较E⑧>E⑨，可得p<37≈0．43，选择方案1打折销售，否则采取重新包装。
同理，E⑩>E，可得p<2129≈0．72，选择方案1打折销售，否则采取重新包装。
综合试销两种情形，只要p<37≈0．43，即预测商品滞销，就可通过打折销售，降低销售风险。
第三步：从试销结果的选择考虑（第二阶段决策）
计算机会点④⑤的期望利润值，得：
E④=0．6×5+1/p1+1/p－1/2=65+1/p10+51/p－1
E⑤=0．4×1/2×5+7/p1+71/p－1/4=45+7/p20+351/p－1
经比较分析，只要0<p<1，E④>E⑤总成立，结合上述第二步的结论，就是说无论是实际畅销或是滞销，只要p<37≈0．43，即预测商品滞销，就可通过打折销售，降低销售风险。往往商家更倾向于采用变相打折,促销送券手段，获取最大商业利润，减少因打折带来的利润损失。以下就打折销售情形介绍商家如何应对销售风险。
4 商家应对风险措施
商家应对风险最快捷有效的方式为打折销售，打折是商家常用的营销策略之一，打折销售的方式五花八门，但归结起来，无非有直接打折和间接打折两种。
4．1直接打折
“每天降价10%”策略，［4］如前两天分别打九折及八折；第三、四两天打七折；第五、六两天打六折……第十五、十六两天打一折。有计划运用打折销售方法，加大宣传力度，限制销售量，以使营销获得成功。人们总想买到价廉物美的商品，最好能买到打二折、一折的商品，但谁能保证都得到呢？于是前几天顾客犹豫，观望者多；中间几天抢购，生意兴隆；最后几天买不到惋惜的状况。本策略的预期结果：前两天顾客不多，探听虚实，看热闹的居多；接下来两天人渐渐多起来，真正买者不很多；第五、六两天打六折时，顾客出现抢购；接着日日爆满，不到一折售货期，商品早已销售一空，从而达到商家的销售预期。
4．2间接打折
间接打折，方式多多，属赠物赠券，减免费用较常见。文献［2］分别给出了商场活动为“满N减A”及“满N送A”打折计算公式。
第一，商场活动“满N减A”，若总共购买了标价为X元的商品，那么买到商品的折扣为：
商品的折扣=X－X/N×AX(5）
若购买标价为2000元的商品,按“买满400减250”，实际这件商品的折扣为：
2000－2000/400×2502000=3．8折
第二，商场活动为“满N送A”，若商品原价为X，那么买到商品的折扣为：
商品的折扣=XX+X/N×A(6）
同样购买标价为2000元的商品，若按“买200送100”，实际这件商品的折扣为6．7折。
除此之外，赠物赠券活动，诸如“满N送A的赠券”活动，送券消费还要加上附加条件，需按万能简便折扣计算式（7）来计算。
商品折扣=最终付款/物品价值（7）
如文献［3］网购促销送券活动，加上其他的限制返券使用条件，打的折扣会更低。一次网购促销送券销书活动中，消费者花费200元，送100元券（2张50元），被限满150元可用50元礼券。限制后改进的打折公式为：
商品的折扣=X+X/200×200X+X/200×300(8）
按公式计算，需至少花费人民币
200+200×［200/200］=400元才能购买200+300×［200/200］=500
即，500元的书本，折扣为8折，由直接返券的6．7折到限制返券的0．8折,明显减少了打折的折扣。
5 商家营销制胜法宝
促销返券商品往往具有以下特点。
一是促销商品返季、滞销。二是上述计算折扣的假设前提是物有所值，而实际上，买的不如卖的精，往往商家在活动之前，已上调了商品价格，因此实际购到活动商品的折扣会更低。商家的目的就是最大可能减少因促销而带来的利润损失，甚至包赚不赔。三是促销返券会促使消费者连环盲目购物，花费更多的金钱，甚至买到非必需的商品。四是购物返券，而且还限制返券消费的种类及消费金额。
总之，打折是商家理想的营销策略，促销返券变相打折更具有隐蔽性及诱惑性，引导消费者疯狂连环购物。曾有专家呼吁，商家返券应提前告知使用范围，并保证消费者在特定范围内用券进行交易；若返券将受到某种限制，必须要提前明确告知；否则将是对消费者知情权的损害。为此也提醒广大消费者明白消费，以防陷阱。
参考文献：
［1］张天铮．条件数学期望在商业决策中的应用［J］.山西统计，1998（7）：34．
［2］“买100送50的券”到底打的几折?网上出现圣诞节血拼“折扣公式”［N］.重庆时报，2010-12-24（2）．
［3］耿诺，王芳菲．网购促销送券成风——返券被指暗藏消费“后门”［N］.北京日报，2011-04-14（8）．
［4］陈筱彦，伍丹．“每天降价10%”策略的实质与运用［J］.中国市场，2006（49）：59-60．
［5］严士健，王隽骧，刘秀芳．概率论基础［M］.北京：科学出版社，2009．
［6］茆诗松，汤银才．贝叶斯统计［M］.2版．北京：中国统计出版社，2013．