单铭成
（南京大学附属中学，210008）
一、教材和学情分析
“数系的扩充和复数的概念”是苏教版高中数学选修12第3章第1节内容，这节课的主要内容是
：数系的扩充、复数的引入以及复数的有关概念。其中，数系的扩充，体现了数的发现和创造的过程，同时也体现了数的发展的客观需求和现实背景；而复数的引入，则是中学阶段数系的又一次也是最后一次扩充。对于高中生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这可以促使
他们对数的概念有一个初步的、较为完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同时还为他们进一步学习高等数学打下了一定的基础。
这节课的教学目标是：（1）了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件。（2）通过对
复数概念的学习，提高认知能力，在复数分类的研究过程中感悟分类讨论思想，在复数相等充要条件的运用过程中感悟转化化归思想。（3）拓展数学视野，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。这节课教学重点是：数系扩充的过程和方法，虚数单位i，复数的概念，复数的分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等的充要条件。
学生学习这一节内容，可能存在如下障碍：（1）对复数的理解。（2）对复数引入的实际意义、实际应用的理解。（3）对复数相等的充要条件的理解。因此，在复数概念的讲解中，应尽量以简单明白、深入浅出的分析为主；在引入复数后，应花一些时间对复数的实际意义、实际应用加以解释。
二、教学环节的设计
（一）“问题引入”环节
对于新课引入，我采用开门见山的方式，直接抛出问题情境：“请大家一起找找这样的两个数：把10分成两部分，使二者乘积为40。”以此给整节课定下了一条“发现问题—解决问题”的主线。
在解决该问题的过程中，引导学生回顾数的发展史，尤其是无理数的发现、实数集的扩充史，启发学生得到结论：（1）数是因为不够用而产生的。（2）为了区分新的数与原有的数，通常会引入新的数学符号。
这样，通过对特殊问题的思考，激发学生的探索兴趣；通过对相关历史的了解，启发学生得到解决问题的方法，即只要约定-1的平方根，其他负数的平方根便可迎刃而解。由此，顺利地引入新课。
（二）“新知构建”环节
此环节，主要讲解复数的概念，重点关注复数的形式，认识数都是从形式开始的；突出复数由实部与虚部构成，而“i”是虚数单位，也就是我们常说的“虚部不虚”。学生对于复数概念的易错点，就在于虚部的概念，所以这个知识点要着重强调。
（三）“例题讲解”环节
教材中例1的设计是为了加强对概念的理解，我对之进行了“加工”，在课堂上呈现给学生的例1是：“请写出一个你认为的复数，并指出其实部和虚部。”它看似朴实，却是我设计的一个亮点，它打破了常规的例题设计，极具开放性：一方面，让学生自主总结复数的形式；另一方面，通过追问“除之前同学写的复数，还有没有不同形式的复数存在？若有，请举例说明”，让学生自己发现复数的不同类型。这是一个自主探究的过程，意在让学生自己对复数进行归类，起到承上启下的作用。由此，复数的分类基本由学生自主归纳，凸显了学生的主体性。
紧接其后，我设计了两个诊断练习：
1.复数a+bi（a,b∈R）是实数的充要条件是______;是虚数的充要条件是______;是纯虚数的充要条件是______。
2．判断下列命题是否正确：
（1）若a，b为实数，则z=a+bi为虚数。
（2）若b为实数，则z=bi为纯虚数。
（3）若b=0，则z=a+bi为实数。
这两个诊断练习的作用，在于加深学生对复数的概念及分类的理解，起到及时复习巩固的效果。
然后，我呈现教材中的例2：“实数m取什么值时，复数z=m(m－1)+(m－1)i是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？”它的设计，目的主要是通过教师的规范板书，强调解题规范的重要性，培养学生的良好学习习惯。其实，解题的规范性，也是学生逻辑思维清晰的体现。
例2之后，我设计了一个追问：“a=0是复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充分条件吗？”一方面，巩固易错知识点——纯虚数的概念；另一方面，起到过渡的作用，从而流畅地引出如下3个变式：
变式2已知复数z=a2+2ai(a∈R)的实部是虚部的2倍，求a的值。
变式3若复数z=a2+2ai=16+8i(a∈R)，则a的值为。
这3个变式，是为学生提供上黑板展示的机会——通过学生的板书，教师掌握学生的理解程度，对一些典型错误进行纠正，并且巩固说明：根据复数的分类，抓住复数的实部和虚部来列式。
接着，我呈现教材中的例3：“已知(x+y)+(x－2y)i=
(2x－5)+(3x+y)i,
求实数x,y的值。”该题的作用，是带领学生总结处理复数相等问题的方法：转化为求方程组解的问题，即复数问题实数化，以此彰显数学思想应用的重要性。
（四）“课堂小结”环节
课堂小结，是整节课的一个升华。有的教师只是把它当作一种形式，而我的做法是：先由学生来归纳总结，再由教师着重引导学生，将所学内容升华到数学思想，应用数学思想解决数学问题。
三、课后反思
这是一节典型的概念课，如果是单纯的讲解或介绍，会让学生感觉枯燥无味；而我通过抛出问题、解决问题，通过对数的发展历史的回顾，较好地完成了对数的概念的扩展。
（一）激发兴趣，明确目标
本节课，我开门见山地设疑，从一个有关一元二次方程的简单应用题入手。因为学生对一元二次方程有较好的理解，而从熟悉的问题入手，学生不觉突兀，并且都能自主动手尝试解决问题——让学生动起来，是激发兴趣的第一步。而紧接着学生会遇到困难——在实数范围内无法解决这一问题，像这样的方程又比比皆是。学生有疑惑就会有好奇心，此时，适当介绍数的发展史，尤其是无理数的发现与应用。学生从无理数的发现与应用的历史中得到启示，并且进入思考的状态，进而明确这节课的目标：需要引入一个新数，一个新的符号。
（二）自主归纳，学有所获
在“例题讲解”环节，开放性的例1的设计，目的有二：其一，从学生的尝试中了解他们对概念的掌握程度，并由此进一步解释概念，使学生对概念的解读更清晰。实际教学中，学生一开始说的全是虚数，而不敢举实数的例子，说明学生把虚数就当作复数，概念并不清晰。此时及时对概念进行巩固，可以加深学生的印象。其二，引导学生自主对复数进行分类。
变式的设置，真正起到了承上启下的作用。变式1、变式2是对例2的补充，学生通过两个变式的训练，进一步掌握了复数分类的依据；变式2与变式3之间的微妙关系，则帮助学生很轻松地得出了两个复数相等的充要条件。
几个例题与变式的设置，使得整节课一气呵成、过渡自然。更重要的是，通过例题的学习，学生自主掌握了本节课的两个重点：复数的分类和复数的相等。
（三）渗透思想，提升能力
“数学是思维的体操。”数学教学不能仅仅停留在套公式、做习题的层面。教学过程中，教师应有意识地、恰当地渗透数学思想。本节课中，在概念引入时渗透了类比思想，在复数的分类中渗透了分类讨论思想，在复数的相等中渗透了转化化归思想。只有领悟了方法背后的数学思想，学生的数学素养才能真正得以提升。