张昴
（中国政法大学商学院，北京102200）
摘要：使用经典回归分析对信号处理时通常假定噪声服从高斯过程，然而现实中许多信号呈现噪声自相关等非平稳特性。常用的广义差分法对噪声自相关做差分处理时，固定了连续两个样本间的相关系数，但是现实中相邻两个时间点样本的相关程度往往不是确定的。将矢量三角形加减法法则与广义差分相结合，开创性地提出具有无机自适应性的矢量差分算法，其相关系数根据信号自身的规律自动调整。最后，将该方法应用于噪声自相关实例，结果表明矢量差分算法比广义差分法的无机自适应能力更强，能够更好地刻画信号的变化规律。
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关键词 ：无机自适应算法；噪声自相关；矢量差分；系数自动调整
中图分类号：TN911?34；TP18 文献标识码：A 文章编号：1004?373X（2015）14?0016?04
收稿日期：2015?02?27
一个离散的时间序列就是一个离散的时间信号。
在两个时间序列数据的回归分析中，通常假设残差噪声在不同时点之间是不相关的。然而在现实问题的研究中，不少时间序列随着时间的推移有一种长期趋势，呈现信号不平稳的特性。对这样的两列信号建立回归模型时，残差之间的相互独立性就会遭到破坏，噪声之间存在依赖性，用此模型进行预测和结构分析就会有较大的误差。这时就需要用一定的方法对其进行补救，国内外学者对噪声自相关问题的处理和研究主要是差分法。当自相关系数已知时，通常采用广义差分法对信号进行处理，消除噪声序列的自相关性。但在实际数据中，自相关系数一般是未知的，所以需要对其进行估计。Cochrane和Orcutt于1949年提出了Cochrane?Orcutt迭代法，通过逐步迭代，提高自相关系数的近似估计精度直到满意为止，再采用广义差分法[1]。1960年Durbin提出了Durbin两步法，即将数据进行两次广义差分变换处理，再使用OLS法估计参数，其优点是只要样本容许，可以修正任意阶自相关[2]。张荷观提出根据自回归分布滞后模型直接建立样本回归方程的方法[3?4]，并给出自相关系数的估计，改进了估计量的统计性质并提高了拟合优度。无论是差分法还是迭代法，它们都将信号样本点间的相关系数固定，然而现实中相邻两期样本点的相关程度往往不是固定的。为克服广义差分法固定相关系导致构建的模型泛化能力较弱的缺点，本文将矢量三角形加减法法则与广义差分方法相结合，开创性地提出了基于相关系数可自动调整的无机自适应算法——矢量差分方法。这种无机自适应算法与有机智能算法是不同的，现有的智能算法处理的大多是多变量、非线性的复杂系统，对单变量、线性信号系统的建模效果较差[5]。智能算法在对目标函数进行优化搜索时强调整体最优，这样就会造成瞻前顾后，不能保证预测效果最优，而人们往往希望用于预测和分析的后期时间点最优。本文提出的矢量差分算法是对输入信号进行优化搜索，在强调当期对近期依赖性的同时保证了当期与远期的相互关联性。
本文介绍了矢量差分的方法原理、矢量差分的一般公式和矢量差分算法的无机自适应性；最后用噪声自相关的离散时间序列做实验，结果表明矢量差分算法模型比广义差分法的无机自适应能力更强，能够更好地刻画信号的变化规律。
1 矢量差分的方法原理
矢量差分是按照三角形减法法则进行的。在圆里面将矢量由最低点出发依次排列，连续两期样本点之间根据矢量模的大小就形成了不同的夹角。这样在圆里面就实现了信号样本点自相关系数在各点的自动调整。1.1 矢量差分的原理
1.2 矢量差分公式推导
在消除残差噪声自相关时，由于广义差分法将相关系数固定，所以扭曲了信号的变化规律。本文将矢量差分算法可以自动调整相关系数的特性运用到广义差分法上，从而实现两个连续样本点相关系数的调整。
所以此时ρ′ 变小。因此，矢量差分的相关系数ρ 可以适应连续样本点间的数据关联结构，有着无机自适应的特点，而普通差分法将任意两期样本点间的相关系数固定，扭曲了客观规律。
2 实验研究
2.1 一阶残差噪声自相关
例1：在研究我国城镇人均支出和人均收入两列离散信号之间关系的问题中，记输出信号城镇家庭平均每人全年消费性支出（元）为y，输入信号城镇家庭平均每人可支配收入（元）为x。这里收集到1990—2009年20年的信号样本点[8]如表1所示，试检验残差噪声是否存在一阶自相关，建立相应的线性映射方程并做响应分析。
2.1.1 直接对输入信号和输出信号做线性映射回归
根据归一化公式：
可见矢量差分算法的预测值全部显著高于广义差分法，凸显其具有可自动调整的无机适应性的优越性，较好地刻画了信号变化规律。
2.2 高阶残差噪声自相关
例2：在研究我国人均消费水平的问题中，记输出信号全国人均消费金额（元）为y，输入信号人均国民收入（元）为x。收集到1980—1998年19年间的信号样本点[8]如表3所示，试检验残差噪声是否存在一阶残差噪声自相关，建立相应的线性映射方程并做响应分析。
2.2.1 直接对输入信号和输出信号做线性映射回归
将两列信号样本数据按照式（1）标准化到[0，1]区间。建立映射回归如下所示：
y = 0.013 + 0.984x
调整R2 为0.999。计算出DW = 0.873，dL = 1.18 , 0.873 < dL ，即残差噪声存在正自相关。自相关系数ρ 的估计值为ρ? = 0.564 ，下面分别对其进行广义差分处理和矢量差分处理。
2.2.2 对输入信号和输出信号做广义差分处理对输入信号x 和输出信号y 广义差分法处理后进行回归拟合，新回归方程残差的DW = 1.372 。此时dL = 1.16 ，dU = 1.39 ，dL < 1.372 < dU ，DW 检验值落入不确定区域。所以再次计算相关系数ρ = 0.314 ，考虑进行二次广义差分处理。二次迭代后的两列信号x 和y 分别表示为x″ 和y″ ，残差的DW 检验值为1.698，dU = 1.38 ，dU < 1.698 < 4 - dU ，此时已消除残差自相关。调整的R2为0.994。y″ 对x″ 的映射回归如下：
y″ = 0.001 + 0.995x″
2.2.3 对输入信号和输出信号做矢量差分处理一阶矢量差分处理DW 值为1.400，发现dL < 1.400 < dU ，计算相关系数ρ = 0.300 ，考虑进行二次矢量差分处理，再经DW 检验发现DW = 1.683 ，dU < 1.683 < 4 - dU ，此时已消除残差噪声自相关。调整R2为0.996。
y** 对x** 的映射回归如下：
y** = 0.04 + 1.005x**
由此可见矢量差分算法改进估计量的统计性质，提高映射回归的拟合优度及系数检验的显著性。
2.2.4 信号间响应分析
二次差分处理后有效数据样本量是17，基于DW检验要求数据样本量大于15，对模型进行2步预测，并做相应分析，误差结果如表4所示。
由表4 可以看出两年的矢量差分预测误差均明显低于广义差分。进一步论证了矢量差分在高阶残差噪声自相关无机适应性能力的优越性，较好地刻画了信号变化规律。
2.3 结果分析
通过一阶残差噪声自相关和高阶残差噪声自相关实例，分别利用广义差分法和矢量差分法消除序列自相关并进行响应分析。可以发现，无论是在拟合优度，还是在预测效果上，矢量差分方法都远远好于一般的广义差分方法。从而论证了相关系数可以自动调整这一无机适应性能力的优越性。
3 结语
本文提出将矢量三角形加减法法则与差分相结合所构建的矢量差分方法在处理残差噪声自相关异常问题时，基于其自相关系数可以自动调整的无机适应性，对输入信号数值间进行优化搜索，在强调当期对近期依赖性的同时满足当期与远期的关联关系。对单变量、线性信号系统的实验表明通过矢量差分算法得出的映射回归方程，其统计特性更加优良，比广义差分法泛化能力更强，在响应分析时凸显了预测最优的特性，能够更好地刻画信号的变化规律。
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参考文献
[1] COCHRANE D，ORCUTT G H. Application of least squares re?gression to relationships containing auto?correlated error terms[J]. Journal of the American Statistical Association，1949，44（245）：32?61.
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[3] 张荷观.存在自相关时检验和估计方法的改进—基于自回归分布滞后模型的自相关检验和参数估计[J].统计与信息论坛，2012，27（4）：44?49.
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作者简介：张昴（1994—），女，河南南阳人。主要研究方向为数理金融。