田双文
（南京理工大学，江苏 南京 210094）
摘要：基于特征模型的系统参数辨识主要采用最小二乘法和梯度下降法，相比于最小二乘法，梯度下降法对敏感参数
g0（k）有更好的辨识效果。黄金分割控制器的设计主要依赖于参数辨识的效果，而敏感参数g0（k）更是起到决定性的作用。现以变惯量伺服系统为控制对象，采用梯度下降法进行参数辨识，采用黄金分割控制器进行控制，仿真结果表明，梯度下降法对g0（k）有很好的辨识效果。
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关键词 ：特征模型；黄金分割控制；最小二乘法；梯度下降法；变惯量伺服系统
0引言
建模的目的是为了分析和设计系统，特征模型的提出可以不依赖被控对象的精确数学模型，而将对象动力学特征、环境特征和控制性能要求相结合进行建模，其特点是对象特征模型和实际对象在输出上是等价的，在稳态情况下，输出是相等的［1］。特征模型建立的形式比原来对象的动力学方程简单，易于控制器设计，工程实现容易，它把高阶模型有关信息都压缩到几个特征参量之中，同时又不丢失信息［2］。
吴宏鑫院士提出的黄金分割控制能保证参数未知的系统在过渡过程阶段，参数设计未收敛情况下闭环系统稳定［3］，虽然黄金分割控制设计简单、调试方便，但其本身主要依赖于被控对象特征模型的在线参数辨识值，因此，在对系统特征模型进行参数辨识时所选择的辨识算法对特征模型的建模精度及其最终控制器控制效果有很大的影响。
目前国内常采用以递推最小二乘法（以下简称RLS算法）为主的全量参数估计，这种方法能使辨识参数快速收敛到真值，这种方法的不足之处在于需要计算P（k）阵，计算量较大，而且P（k）阵中遗忘因子λ选取较麻烦，当λ=1时，随着运行时间的增加，P（k）趋于0，使参数估计失去能力；当λ＜1时，随着k的增加，P（k）趋于无穷，造成参数估计大幅波动甚至发散，另外对于敏感参数β0的辨识值过小且收敛速度慢，这将导致不利于控制器设计［4］。
另一种方法是采用带遗忘因子的随机梯度下降法（以下简称FSG算法），这种方法无需计算P（k）阵，且不会导致参数估计发散或者失去估计能力，敏感参数g0（k）的辨识值收敛速度快，同时参数估计收敛值随初值选择不同而不同，无唯一解，这样可以选择合适的
g0（k）来进行控制器设计［5］。
本文采用最小二乘法和梯度下降法两种方法分别对特征模型参数进行辨识，重点介绍梯度下降法的参数选取问题与辨识效果，最后对变惯量伺服系统进行在线参数辨识并采用黄金分割控制器进行自适应控制，仿真结果表明，采用梯度下降法能够有效地对不同惯量情况下系统特征参数g0（k）进行辨识，有利于控制器设计，而最小二乘法所辨识的g0（k）不利于控制器设计。
1特征模型理论简介
记非线性系统为：
x·（t）=f（x，x·，…，x（n），u，u·，…u（m））（1）
简记为x·（t）=f（x，u）。假设式（1） 所示的非线性系统具有如下6个特点［1］：（1） 单输入单输出；（2） 控制量
u（t）的次方为1；（3） f（·）中全部变量xi、ui全为0时，则f（·）=0；（4） f（·）对所有变量是连续可导的，且各阶偏导数均有界；（5） |f［x（t+ΔT）］，u（t+ΔT）|－|f［x（t），u（t）］|＜M×ΔT，M为常值，ΔT为采样周期；（6） 实际工程中，控制量u（t）总是有界的，各变量xi、ui也是有界的。
如果被控对象能用系统（1）表示，且满足上面（1）～（4）的假设，在满足一定采样周期ΔT的条件下，其特征模型可以用一个二阶时变差分方程形式来描述：
x（k+1）=f1（k）x（k）+f2（k）x（k－1）+g0（k）u（k）+g1（k）u（k－1）
其中，f1（k）、f2（k）、g0（k）、g1（k）为特征模型的待定参数，需要对其进行实时在线辨识。由于电机模型带有积分环节，所以其特征模型可简化为［6］：
x（k+1）=f1（k）x（k）+f2（k）x（k－1）+g0（k）u（k）
式中，f1（k）→2；f2（k）→-1。
2递推最小二乘法与带遗忘因子的随机梯度下降法简介
针对永磁同步电机特征模型参数辨识结构如图1所示，永磁同步电机采用电流环和速度环双闭环的控制，为研究辨识算法的建模精度问题，输入信号u（k）为转速给定信号，输出信号y（k）为测量的位置信号。
RLS算法［5］：
式中，φ（k－1）=［y（k－1） y（k－2） u（k－1）·K］，K为输入信号放大比例；FSG算法中遗忘因子
λ1和λ2可根据控制抗扰量大小和收敛速度自行决定；θ（k）=［f1（k） f2（k） g0（k）］为待辨识值。
3辨识对比
不同永磁同步电机参数，采样周期为0.005 s，电机调速采用PI调节，输入转速为3 000 r/min，初值θ（0）=［1.99-0.99 0.000 1］，为使FSG算法能够较好地对特征参数进行辨识，需要对输入信号进行一定的比例缩小，因此取输入信号放大倍数K=1×10-5，仿真时间为10 s。
采用RLS算法和FSG算法，特征建模误差e无太大区别，差别在于待辨识值f1（k）、f2（k）、g0（k）这三个参数的辨识效果。在初始阶段，采用RLS算法f1（k）、f2（k）两个参数的变化范围大，而采用FSG算法辨识出的f1（k）、f2（k）变化范围小；对于敏感参数
g0（k）的辨识，采用FSG算法辨识的g0（k）收敛速度要快于RLS算法，而且FSG算法辨识的g0（k）稳态终值要大于RLS算法辨识的g0（k）。FSG算法参数估计收敛值与初始参数选择和输入信号放大倍数K有关，选择不同的初始参数对于g0（k）的终值有不同的辨识效果，选择不同放大倍数K会影响g0（k）的数量级别，这样的好处是可以人为改变g0（k）的辨识值，这对于采用黄金分割控制器会有很好的控制效果，不会像最小二乘法那样因为g0（k）辨识值很小而导致黄金分割控制性能下降。
4控制器设计与仿真验证
黄金分割控制器就是把黄金分割比（l1/l2=0.382/0.618）引入控制器设计中。被控对象二阶差分方程为：
5结语
针对永磁同步电机特征模型的参数辨识，带遗忘因子的梯度下降法对于阶跃信号和斜坡信号的g0（k）的辨识值有很好的效果，最终控制效果不错，但对于正弦信号的辨识效果不是很好。由于正弦信号的连续变化，需要重新选取g0（k）的初值与比例因子，以达到辨识值连续变化的目的，最终使得控制器有自适应的效果。
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参考文献］
［1］吴宏鑫，胡军，解永春.基于特征模型的智能自适应控制［M］.北京：中国科学技术出版社，2009：47-50.
［2］Uenaka Y，Sazawa M，Ohishi K.Self-tuning Control of both Current Sensor Offset and Electrical Parameter Variations for PM Motor［C］//2010 11th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control，2010：649-654.
［3］吴宏鑫，解永春，李智斌.基于特征模型描述的黄金分割智能控制［C］//1996年中国智能自动化学术会议论文集（上册），1996.
［4］Ding F，Shi Y，Chen T.Auxiliary Model Based Least-squares Identification Methods for Hammerstein Output-error Systems［J］.Systems & Control Letters，2007，56（5）：373-380.
［5］李鹏波，胡德文.系统辨识基础［M］.北京：中国水利水电出版社，2006.
［6］孟斌，吴宏鑫.线性定常系统特征模型的证明［J］.中国科学：E辑，2007，37（10）：1258-1271.
收稿日期：2015-09-01
作者简介：田双文（1990—），男，内蒙古包头人，学术型硕士在读，研究方向：控制理论与控制工程。