黑龙江科技大学理学院 阮万清 张鸿艳 顾 娟 丛凌博
[摘 要]结合黑龙江科技大学复变函数与积分变换教学模式的现状，从以兴趣为导向、加强案例教学、分层次教学、利用现代技术手段提高课堂质量和对比式的教学五个方面对教学模式进行了探索与实践。实践表明，这些模式的探索大大提高了教学质量。
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关键词 ]复变函数与积分变换；教学模式；教学改革
中图分类号：G642 文献标识码：A文章编号：1671-0568(2014)35-0084-02
基金项目：本文系黑龙江省教研科学“十二五”规划2012年度课题“复变函数与积分变换课程教学改革的研究与实践” (编号：GBB1212056)、黑龙江省高等教育学会“十二五”高等教育科研课题“依托（复变函数与积分变换）教学模式的改革培养学生的创新与实践能力” (编号：14G07①、黑龙江省教研科学“十二五”规划2013年度课题“复变函数与积分变换课程教学中进行案例式-PBL教学法的研究与实践” (编号：GBC1213098)的科研成果。
《复变函数与积分变换》是黑龙江科技大学（以下简称“我校”）面向电气与自动化专业、通信专业和力学专业开设的一门数学基础课，近千名学生学习，同时也是《电路原理》、 《通信工程》、 《信号与系统》等多门后续专业基础课的基础理论。该课程是继高等数学和线性代数后开设的第三门数学基础课，包括复变函数论和积分变换两部分内容，前者系统介绍解析函数的基本性质及其应用，与高等数学联系紧密：后者主要介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，它的理论与方法在流体力学、弹性力学、信号处理等工程技术领域中都有着广泛的应用。该课程的理论部分为42学时，实验部分为4学时。
通过教学发现，学生在学习过程中普遍感觉到有些概念难懂、定理抽象，而且所学的理论部分与实践内容脱节。这就要求教师在讲授该课程的时候要采用适当的教学方法，真正做到因材施教。因此，在理论学时较少的情况下，如何提高该课程的教学质量，如何让学生获取更多知识，就必须进行深入的思考。这就要求教师在教学中对该课程的教学模式进行研究和探索，找到适合我校学生特点的教学模式，以达到更好的教学效果。
一、加强以兴趣为导向的教学模式
“兴趣是最好的老师。”无论做什么事情，只要有了兴趣，才能积极主动地投入。作为学生在学习每门课程的过程中，只有先有了兴趣，才能增强对所学课程的求知欲和好奇心。复变函数与积分变换是一门依托于高等数学课程的一门数学基础课程，具有概念多、抽象的特点，它并不是一个孤立的学科。为了更好地激发学生的学习兴趣，“第一次课”教学就显得尤为重要。
1．介绍复变函数与积分变换的起源和发展史。为了求解方程X2+1=0的解，欧拉首创了用符号i来表示虚数单位。后来，虚数这一名词由法国数学家笛卡儿最先提出。伟大的德国数学家高斯创新性地把实数，和虚数iy放在一起构成复数z=r+iy。
2．介绍复变函数与积分变换课程的应用背景。①复变函数在相对论中的应用。如将时间变数视为虚数，则可以简化狭义和广义相对论中的时空度量方程：②复变函数在系统分析中的应用在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此，可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼克尔斯图法都是在复平面上进行的：③复变函数在物理学中的应用。例如，物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。著名的诺贝尔物理学奖获得者杨振宁博士最早揭示和提出复函数属于现实的物理世界这一思想，并明确总结出20世纪物理发展的三个主旋律：量子化、对称和相位因子；④复变函数在流体力学和航空力学方面的应用。又如，俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题；⑤复变函数在固体力学中的应用。再如，广义解析函数可以应用在薄壳理论这样的固体力学方面。
3．介绍复变函数与积分变换与专业课程的对接，进而体现该课程的应用。例如，《自动控制原理》课程（胡寿松主编，科学出版社）中第3章的线性系统的时域分析使用了二阶微分方程，利用了拉普拉斯变换。第7章线性离散系统的分析运用了复变函数知识进行分析和运算。《电路》课程（邱关源主编）中第13章的非正弦周期电流电路和信号的频率利用了傅里叶级数把非正弦信号变成正弦信号。第14章线性动态电路的复频域分析利用了拉普拉斯变换。
4．介绍课程的基本框架，让学生从大体上了解学习的内容。因此，如何上好第一次课对于激发学生的学习兴趣、消除学生的认识障碍起到了至关重要的作用。
二、加强以案例教学为导向的教学模式
案例式教学是指教师首先要精选适合本次教学内容的案例，然后由学生利用所学和将要学习的知识点进行深入分析，并给出案例的策划方案。通过案例式教学法，既看到了该门课程在实际生活中的应用，也提高了学生解决实际问题的能力。例如，讲解解析函数时，可以引入“薄壳理论”案例和“飞机机翼”的结构设计。讲解复积分公式时，可以引入“复流形的体积”的案例，特别是以“黎曼球面”作为典型的复流形进而利用复积分来计算体积问题、“量子理论中的时空分析特性”和“共性场论中的分析”等案例都可以应用到复积分理论。这样，学生在学习过程中就不会觉得枯燥，进而了解该课程的实际应用地位和价值。因此，通过案例式教学法的应用，学生可以通过具体实例来进一步理解所学知识点的内涵，达到融会贯通。
三、加强以分层次教学为导向的教学模式
针对我校的学生特点和办学理念，在教学的过程中，教师应该制定一套合适的教学方案。例如，在教学中加强分层次教学就显得尤为重要。首先利用问卷调查的方式来考察学生的学习情况，然后根据调查结果将学生进行分组教学，进而形成团队意识。给部分学生布置能力测试论文，即把该课程的学习内容应用到自己的专业课程中，进而体现该课程的重要性和专业对接的可行性。
四、加强以利用现代信息技术手段的教学模式
利用现代信息技术手段是丰富教学内容的重要手段之一。在复变函数与积分变换的课程中，可以充分利用多媒体技术突破教学难点，体现某些内容的直观性、动态性和立体性的特点。例如，讲解复积分时，对于积分曲线的图形就可以利用多媒体进行演示，这样既形象又直观。讲解留数理论时，针对函数的奇点情况就可以利用多媒体进行分析。讲解积分变换时，一些题目较长的应用案例就可以运用多媒体讲解，这样既节省时间又丰富了课堂的教学内容。总之，该课程还有很多知识点需要教师推敲。
五、加强以对比式教学的教学模式
复变函数与积分变换作为高等数学的后续课程，与高等数学有许多相似之处也有不同之处。因此，在教学中采用对比式教学的方法就显得尤为重要。对于相同或相似的内容尽量少讲，或留给学生自学。例如，极限的运算法则、导数的公式和复积分的性质等。重点讲解两者不同的和容易混淆的地方，力求做到精讲、讲透。例如，复变函数中的许多定义、定理与实函数相似，如极限、连续、可导、可微、积分等。但讲解求极限时，要求学生总结定义上的差异，明确两者的不同之处在于趋近方式上，实函数是沿着实轴趋近的，而复函数是沿着平面上可以到达该点的任意路径趋近的。再如，实函数sim x， cos x是有界的，而复函数sin z ，cos z。却是无界的：实函数h。的定义域是x>0且是单值函数，而复函数Ln。的定义域是。≠o且是多值函数；实函数ex是单调函数，而复函数ex却是周期函数，这些不同之处正是实函数与复函数不同的根源所在，它贯穿了复与实的始终。因此，加强对比式的教学模式的研究对于学生学好该门课程是非常有必要的。
总之，在教学实践中应该不断探究适合学生发展的教学模式，激发学生的学习兴趣，达到教学大纲的要求。因此，本文从以提高学生兴趣为导向、加强案例教学、分层次教学、利用现代技术手段提高课堂质量和对比式的教学等五个方面对教学模式进行了探索与实践，希望能为该课程的教学起到一定的促进作用。
（编辑：易继斌）