张晓燕
（西安建筑科技大学 数学系，陕西 西安 710055）
摘 要：本文研究了色关联高斯噪声与非高斯噪声激励下Logistic系统的随机共振问题.并基于路径积分法、统一色噪声近等，求得该系统的信噪比表达式，分析了非高斯噪声对系统随机共振的影响，结果表明：在乘性与加性噪声强度以及噪声互关联强度的影响下信噪比曲线上抑制与随机共振现象共存.
教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 ：非高斯噪声；Logistic系统；随机共振
中图分类号：O175；TN911文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）08-0011-03
基金项目：陕西省教育厅基金(2013JK0585),西安建筑科技大学校基金(RC1229，QN1437)资助的课题
1 引言
近年来，运用非线性物理学性质及应用揭示生物系统的复杂性引起一些研究者的关注.大量的研究表明，噪声在非线性随机动力系统中占据非常重要的角色，并得出许多有意义的结论，如：随机共振、噪声诱导相变及激活共振等[1-4].而噪声的这些影响效应在生物系统的研究中也陆续被发现[5-6].
Logistic增长模型是研究在有限空间内生物种群数量变化规律的重要数学模型，因此该模型被广泛应用于生物系统、基因模型以及人口动力学的研究中[7-9].Ai等[7]研究了高斯白噪声作用下Logistic生长模型的统计性质，发现系统噪声能诱导相变.之前的研究中，多数情况下主要考虑高斯噪声对生物系统的影响.但是对小龙虾与老鼠皮毛进行的实验结果表明，在这些感官系统中存在着非高斯噪声.虽然由非高斯噪声激励的非线性系统性质会更复杂，理论研究比较困难，但是更具现实意义，目前已经成为热点研究问题[10-11].
以往对Logistic系统的分析主要讨论的是高斯噪声对系统的影响，而考虑噪声为非高斯噪声的研究较少.本文主要研究在非高斯噪声激励下，Logistic模型在加性噪声与乘性噪声之间为色关联情形下的随机共振问题.
2 Logistic系统的信噪比
考虑色关联高斯白噪声与非高斯噪声驱动的Logistic模型，对应的随机微分方程可描述为；
其确定性势函数为，
在满足条件|q-1|=1的情况下，运用路径积分法[10]可以得到：
根据最速下降法，可以得到系统的平均首次穿越时间表达式为：
相应的逃逸率为：
根据两态模型理论，在绝热近似条件下可以得到系统信噪比的表达式，
3 系统的随机共振
根据(18)式所给出的系统信噪比表达式，我们运用数值方法分析乘性噪声强度D,加性噪声强度α,乘性噪声自关联时间T,两个噪声之间的互关联时间T2以及参数q对信噪比SNR的影响.
图1给出了系统信噪比SNR作为乘性噪声强度D的函数随着噪声互关联强度λ变化的曲线.从图上可以看出，当D的取值较小时，信噪比曲线随着D的增加快速下降，之后随着D的增加三条曲线都有一个极大值，即是一个随机共振现象.而且极大值的位置随着噪声互关联强度λ的增加而升高且右移.
图2给出了系统信噪比SNR作为加性噪声强度α的函数随着乘性噪声关联时间T变化的曲线.当乘性噪声关联时间较小时(如：T=0.5),信噪比曲线随着α的增加是单调减小.而当T的值增大时，信噪比曲线随着α的增加出现了随机共振现象，并且共振峰的位置随着T的增加快速提升且左移.
图3给出了系统信噪比SNR作为加性噪声强度α的函数随着噪声互关联时间T2变化的曲线.图中的信噪比曲线随着加性噪声强度的增加先是快速降低，形成一个抑制，而后出现一个极大值，即出现了随机共振现象.当α的值较小时，信噪比曲线随着噪声互关联时间T2的增加而增加；当α的值较大时，信噪比曲线随着噪声互关联时间T2的增加而减小.
图4描述了系统信噪比SNR作为噪声互关联时间T2的函数随着乘性与加性噪声互关联强度λ变化的曲线.由图4可以看出，图中所给三条曲线的变化趋势是不同的.当λ=0.3时，信噪比曲线随着噪声互关联时间的增加是单调减小的；而当λ=0.5时，信噪比曲线上出现了一个极大值，随机共振现象发生；当λ=0.7时，信噪比曲线上抑制与共振并存.
本文考虑了色关联高斯噪声与非高斯噪声对Logistic增长模型的影响.通过分析系统的信噪比表达式，得到如下结论：在乘性与加性噪声强度的影响下信噪比曲线上抑制与随机共振现象共存.在信噪比作为噪声互关联时间的函数随着噪声互关联强度变化的参数平面上发现随着噪声互关联强度的增加，信噪比曲线经历了从单调减小到存在一个极大值再到极大值与极小值共存的变化过程，说明噪声互关联时间对信噪比的影响依赖于噪声互关联强度的值.
教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献：
〔1〕Peter J, Peter H. Dynamical systems: A unified colored-noise approximation [J]. Phys. Rev. A ,1987,35(5), 4464-4466.
〔2〕Xu W, Jin Y, Li W, Ma S. Stochastic resonance in an asymmetric bistable system driven by multiplicative and additive noise [J]. Chin. Phys, 2005, 14(6) 1077-1081.
〔3〕Mei D C, Xie G Z, Cao L, Wu D J. Mean first-passage time of a bistable kinetic model driven by cross-correlated noises[J]. Physical Review E, 1999, 59:3880-3883.
〔4〕Zhang X Y, Xu W. Mean first-passage time of an asymmetric bistable system driven by color-correlated noise[J], Chinese Physics, 2007, 16:928-932.
〔5〕王康康，刘先斌，杨建华.色交叉关联噪声作用下集合种群的稳定性和平均灭绝时间[J].物理学报，2013,62(10).
〔6〕王参军.基因转录调控系统中的色噪声诱导转化研究[J].2012,61(1).
〔7〕Ai B Q, Wang X J, Liu G T, Liu L G. Fluctuation of parameters in tumor cell-growth model[J] , Commun. Theor. Phys. 2003, 40(1), 120-122.
〔8〕Du L C, Mei D C, Effects of time-delay in stationary properties of a logistic growth model with correlated noises , Physcia A, 2010,389(6),1189-1196.
〔9〕Bai C Y, Du L C, Mei D C Stochastic resonance induced by a multiplicative periodic signal in a logistic growth model with correlated noises[J]. Cent. Eur. J. Phys. 2009,7(3) 601-606.
〔10〕Fuentes M A, Tessone C J, Wio H S and Toral R Stochastic resonance in bistable and excitable systems: effect of non-gaussian noise [J]. Fluctuation and noise letters, 2001, 3: L365-L371.
〔11〕Bouzat S, Wio H S New aspects on current enhancement in Brownian motors driven by non-Gaussian noises[J]. Physica A 2005 351(1), 69-78.
〔12〕Novikov E A. Functionals and the Random-Force Method in Turbulence Theory[J]. Sov, Phys. JETP, 1965, 20(5), 1290-1294.