李启明 曹喜锋 于立明
（上海飞机设计研究院，中国 上海 200232）
【摘 要】飞机外形设计中，当单一的曲线不能满足描述复杂形状的需要时，就必须采用组合的曲线，这就需要解决的关键问题就是怎样实现光滑连接的问题，工程实践中，G2连续的组合曲线受到了特别的关注。过渡连接时，常用的二次曲线难以在两端均实现G2连续，这就有必要构造其他形式的曲线来实现G2连续，通过控制三次贝齐尔曲线首末端点曲率，得出了该三次贝齐尔曲线与直线、曲线保持G2连续的方法。
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关键词 贝齐尔曲线；飞机外形设计；G2连续
【Abstract】In aircraft shape design, when one single curve could not describe complicated shape, composite curve should be used, and then how to realize smoothly combination must be solved. In practices, G2 continuousness composite curve get especial attentions. It is intractable when use one curve to combine a line and a curve, conic curve widely used could not realize G2 continuousness, so it is necessary constructing other form of curve to meet G2 continuousness. One form of cubic Bézier curve is constructed，and it could meet G2 continuousness by controlling its endpoints’ curvature.
【Key words】Bézier curve; Aircraft shape design; G2 continuousness
0 引言
飞机外形设计中，曲线的光顺与否不仅关系到飞机外形曲面的美观，更重要的是曲线的光顺将直接影响飞机的气动性能，为此，必须尽可能的获得光顺的曲线以保证飞机外形的曲面质量。为保证曲面品质，需要在连接处均实现G2连续，二次曲线由于阶次的限制，不能保证两端均与其他曲线G2连续，而阶数过高的贝齐尔曲线，由于定义点过多，定义点的计算非常繁琐且解不唯一，其形状难以控制。三阶贝齐尔曲线是很好的折衷，既可以实现G2连续的过渡连接，也能保证解的唯一性。
1 贝齐尔曲线介绍
贝齐尔是参数多项式曲线，其定义形式如下：
P0、P1……Pn是称为“定义点”，依次连接P0、P1……Pn的多边形称为曲线的“特征多边形”，O点为原点。工程中的特征多边形一般为凸多边形，本文仅讨论特征多边形为凸多边形的各种情况。
2 构造过渡曲线
飞机外形设计中使用最多的是平面曲线，平面曲线操作简单、容易构造，事实上空间曲线可以用两个平面曲线表达，这也使得空间曲线单独构造操作的意义降低了。故本文只讨论平面曲线的情况。
本文利用三阶平面贝齐尔曲线连接，见图1。
图1中，利用三阶平面贝齐尔曲线p(t)过渡连接l1、l2，在P0点与l1连接，在P3点与l2连接，那么p(t)的起点P0和终点P3的位置是固定的。为了完整、唯一定义该三阶贝齐尔曲线，还要确定其他两个点P1、P2的位置。根据贝齐尔曲线的基本性质，
必须与l1在P0点的切矢方向同向，也就是说，为与l1相切，P1点只能在P0点的切线上“滑动”，同样，P2点只能在P3点的切线上“滑动”，这样就进一步限制了P1、P2的位置范围，下面进一步讨论曲率连续的条件。
对于任意参数曲线p(t)，曲率τ由下式表示[2]：
图2中表示了t=0时曲线起点处向量及控制点。P0Ω为曲线P0点的法线方向，H0为P2在P0Ω上的投影，Ω为曲线起点P0处曲率中心。
令
逆时针旋转到
的角度为α，下文将就工程中常用的α情况利用G2连续的条件给出P1、P2的位置确定方法。
2.1 0°<α<180°的情况
图3 是0°<α<180°时p(t)过渡连接的示意图
方程组（13）中，除m、n外，其余均为已知量，解得m、n的值即可得到P1、P2的位置，但该方程组m、n均为二阶，难以直接求得解析解，必须利用数值方法求解。变换方程组（13）得到：
方程组（14）满足收敛条件，该方程组迭代求解即可得到P1、P2的位置。
2.2 180°<α<360°的情况
图4是180°<α<360°时p(t)过渡连接的示意图
同样的，该方程组难以直接求得解析解，必须利用数值方法求解。变换方程组（18）得到：
方程组（14）满足收敛条件，该方程组迭代求解即可得到P1、P2的位置。
2.3 α=180°的情况
α=180°时，直线P0P1和P3P2平行，见图5。
令直线P0P1和P3P2间的距离为?詛，则P0H0=P3H1=?詛，此时，（9）、（10）式均只有一个待求变量，P1、P2的位置独立，所以，只要调整P1、P2的位置满足（9）、（10）两式即可。
此外，α=0°（α=３６０°）时，同样有直线P0P1和P3P2平行，但此时，特征多边形不是凸多边形，本文不予讨论。
另外，对于一端或两端有直线，即τ=0的情况，本文限于篇幅，将在其他文章中讨论。
3 连接实例
以2.2情况为例，利用三阶贝齐尔曲线连接任意两条曲线，见图6。
此时，曲线l1、l2已经确定了P0、P3、P的位置，再利用方程组（19）迭代求解即可得到P1、P2的位置。
此时P0点处曲率τ0=0.0045，P3点处曲率τ1=0.0025，代入方程组（19）迭代求解得到
根据求解结果画出三阶贝齐尔曲线并进行曲率检验，见图7。
由曲率分析图可以看出，三阶贝齐尔曲线在连接点处实现了G2连续，保证了曲线的连接质量。
4 结论
本文通过求解端点处的贝齐尔曲线曲率，构造了不同情况下实现G2连续的三次平面贝齐尔曲线，构造方法简捷，实现了三次贝齐尔曲线与直线和曲线的G2连续，保证了曲线连接的品质，在飞机外形设计中具有实际的应用价值。
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参考文献
［１］施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].高等教育出版社,2001:18-26,114-143.
［２］苏步青,刘鼎元.计算几何[M].上海科学技术出版社,1980:102-108.
［３］曹喜锋.飞机外形数字化设计技术研究[D].西安:西北工业大学,2004,10.
［４］吉贝·德芒热,让皮尔·晡热.曲线与曲面的数学[M].王向东,译.商务印书馆,2000:5-70.
［责任编辑：汤静］