杨树国 杨晓妍
（青岛科技大学数理学院，山东 青岛 266061）
【摘 要】在我国金融开放度日益深化的条件下,银行服务质量与效率决定其市场竞争力。近年随着商业银行零售业务的快速发展，我们逐渐意识到排队问题是影响银行服务质量和水平的重要因素.本文在排队论的基础上，利用统计的方法，针对银行窗口排队问题,建立数学模型，以实现银行窗口的设置和排队的优化，为银行服务系统提供有益的参考。
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关键词 银行服务系统；排队论；数学模型；优化问题
基金项目:山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目；山东省高等学校科研计划项目（J13LN34）；青岛市科技发展计划项目（KJZD-13-27-JCH）。
0 引言
银行排队问题已成为当今社会衡量商业银行服务优劣的一个重要指标。目前，银行业竞争日趋激烈，如果排队现象得不到有效改善，使得客户等待时间过长，则有可能造成一些失去耐心的顾客放弃服务，引发部分存款资金的流失以及投诉的增多[1]。
一般地，银行排队主要由顾客数量、排队窗口和服务效率等因素决定，所以权衡客户等待成本与银行提高服务水平所增加的成本之间的得失，是真正解决银行排队难题的重点。
从客户角度来看，解决好客户排队问题能够有效地节约客户与银行交易的时间成本和体力成本，在客户总价值不变的情况下，增加客户让渡价值，提高客户对银行服务的满意度，进而增强银行的市场竞争能力。从银行经营方面来看，客户排队问题是一个较为复杂服务的营销问题。利用排队论分析银行的客户排队服务，可以帮助银行协调客户成本和银行成本之间的矛盾，优化银行内部资源的合理配置，如营业点位置的确定、规模、人力资源管理、产品整合与业务量分流等等。
本文将着重从服务窗口设置及其优化方面来研究银行系统的排队问题。
1 排队论知识在银行系统中的应用
银行排队问题是一个典型的排队服务系统，其基本结构包括：
（1） 输入过程:顾客随机到达，且顾客数量服从以λ为平均数的泊松分布，其中λ为顾客的平均到达率。
（2） 排队规则:银行服务系统是等待制和损失制相结合的混合制系统，并且遵守“先到先服务”的排队规则。
（3） 服务机构:银行服务系统是一种多服务台并且互不影响的并联服务系统。
（4） 输出过程:在银行服务系统中，相邻两个客户离开系统的时间为其服务时间的间隔。一般情况下，服从参数为μ的指数分布，其中μ为平均服务速率。
银行排队系统中的性能指标包括：系统中平均排队长度Lq（系统中排队等候的顾客数）；系统平均总顾客数Ls；顾客在系统中的平均等待时间Wq；顾客在系统中平均逗留时间Ws。
常用的数量指标：顾客平均到达率λ；顾客有效到达率λe；窗口平均服务率μ；系统中并联服务窗口数Ｓ；服务强度，即每个服务窗口单位时间内的平均负荷ρ；系统空闲概率P0；系统处于平衡状态时有n个顾客的概率为Pn。
2 建立数学模型
对于一个系统而言，用系统中的顾客数来表示其所处状态，那么顾客的到达或离开则会引起系统状态的改变，从而构成了生灭过程，而且当系统处于平衡状态时的性能指标和运行参数才具有重要意义[2]。由此，系统的状态转移图如图2所示，图中圆圈中的标号（0，1，2，…，n，…）是状态标号，它表示系统中稳定的顾客数。箭头表示状态的改变，λi表示由状态i到i+1的转移速率，μi表示由状态i到i-1的转移速率，Pk表示系统内有k个顾客的概率，k=0，1，2，…，n，…
由于一般情况下，银行服务系统窗口数为S（S＞1），则当第S+1个客户到达后开始排队，故银行系统中排队顾客的数学期望:
李太勒证明了里特公式在各种排队模型中均可使用，因此可计算出顾客在系统中品均逗留时间W与等待时间Wq：
3 服务窗口的优化
目前，银行行业排队现象屡见不鲜,柜台服务质量下降,顾客反应强烈。针对如何解决银行排队难的问题,许多银行已经采取了一些措施, 但仅限于在营业时间、服务态度和信息沟通等方面的改善, 对窗口设置是否合理缺乏研究。银行柜台排队的本质是柜台生产与客户需求的矛盾, 是柜台生产能力与客户需求不匹配的表现[4-5]。通过对加入叫号机前后两种系统的对比，我们对排队问题有更深入的认识。
3.1 两种排队系统的对比
现有条件下，银行均采用叫号机设备，客户到达后，触屏幕获得打印有等待人数和号码数等信息的小票，然后等待服务窗口显示牌一次呼叫编号接受服务[2，4]。可见，与传统的客户在每个服务窗口前各排成一列的模式有所不同，加入叫号机以后，所有客户相当于排成一列等待服务。那么现有模式和传统模式相比，哪种效率会更高一些？下面用实例来进行探讨。
假设银行共有3个服务窗口，两种模式下，顾客到达的人数是相等的，且服务效率相同。顾客平均到达率为λ＝０．９人/分，银行服务率为μ＝０．５人/分。
因此，结合生灭过程和里特公式，可得到两种系统的系统指标，如表1所示:
从以上参数的对比可以看出，加入叫号机设备以后的银行系统要比传统模式的服务水平要高。同时也表明，一个服务系统中的排队队列共享的服务窗口越多，其服务效率越高。
3.2 服务系统中最优窗口数 的设置
由以上内容可知，在一个系统中服务窗口数越多，其服务效率越高，由排队造成的损失便会减少。那么，是不是窗口可无限制增加？很显然不是。在服务窗口增加的同时，服务费用也在增加。从而存在一个最佳服务窗口数目的优化问题，使得服务费用和排队损失达到最小[3，4，6]。
这里，假设银行系统是一个封闭系统，则可以找到排队损失的价格化函数。因此，可归结为寻求系统总费用最少，服务水平最高的点，即 minE（TC）=E（SC）+E（WC）
其中E（TC）、（SC）、E（WC）分别表示总费用，服务费用，等待费用数学期望值。
在Ｍ／Ｍ／S服务系统中，系统单位时间总费用的期望值可表示为: TC=CSC+CWLS
式中，CS表示一个服务窗口的单位时间成本，CW表示一个顾客在系统中停留单位时间的费用。
因为LS也是服务窗口S的函数，所以TC=f（S），且是一个不连续的函数（S=1，2，…）。故采用边际分析法求解函数f（S）最小的S*值。
根据使最小值，下列等式成立；
4 结论
本文运用排队论知识解决银行排队问题，从优化银行服务窗口方面着手，并结合现在的叫号系统，利用统计的方法，统计出顾客的到达率及银行的服务率，并利用边际分析法，从而计算得出最佳的服务窗口数目，使顾客排队时间减少并提高客户满意度。
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参考文献
［1］严万全.银行排队问题分析及系统优化策略研究.理论研究[J].金融经济，2012（０6）:63-65.
［2］高显彩，宋杨，张丽慧，胡珍.排队论在银行排队系统中的应用[J].宿州教育学院学报，2013，16（3）:13-15.
［3］牛映式.运筹学[M].陕西:西安交通大学出版社，2006:223-255.
［4］刘法胜.排队论与银行的客户服务系统[J].山东交通学院学报，2003（０1）:83-86.
［5］杨米沙.银行排队系统数据分析及窗口设置优化研究[J].武汉理工大学学报：信息与管理工程版，2008（04）:624-627.
［6］邓秋玲，韦新星.泊松过程和排队论在银行排队问题中的研究[J].海南师范大学学报：自然科学版，2014（01）:11-14.
［责任编辑：许丽］