胡 萍 何佳龙 蒋俊豪
（河海大学，江苏 南京 210098）
【摘 要】金融投资可以帮助投资者灵活运用资金，获得更多收益。从不同的角度针对收益额这个随机变量进行研究，共建立两个模型：正态分布模型、蒙特卡罗模型。首先通过对数据可视化分析其符合正态分布，建立正态模型；再利用MATLAB生成大量的随机数进行概率分析，建立蒙特卡罗模型。通过对两种不同模型求解，得到两种不同周期下不同情况的投资问题结果，并建立正态分布模型，最终分析得到关于初始投资额、限定损失额、置信度与周期的一般关系形式。对比两种模型结果发现结果较为接近。因而实际模型可以利用正态分布的可加性可以将问题简化，在对精确度要求较高的情况下，可以用蒙特卡罗模型生成尽可能多的随机数，无限逼近于精确值。
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关键词 投资损失；正态分布；蒙特卡罗；MATLAB
1 问题重述
某公司在金融投资中，准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等），需要考虑如下两个问题：1）在投资数额一定的条件下，预测损失超过某一数额时的可能性和在一定的置信度内可能损失的数额；2）控制超过某一损失的概率，给出这种情况下投资额最多的情况；3）如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为1000万元成本。本文以该公司在过去一年255个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据作为依据。
2 问题分析
2.1 确定样本分布
对数据进行可视化分析对图形进行拟合，拟合曲线接近正态分布。使用MATLAB的h=normplot(x)语句显示数据矩阵x的正态概率图生成图形（见图1），由图1的正态概率图可以看出中间段几乎呈直线形态分布。因此，我们可以认为255天的收益额数据满足随机正态分布，采取分布函数或者产生分布的模拟随机数列这两种方法。
2.2 模型假设
根据实际，对数据分析中存在的问题作如下假定：1）假设金融投资市场处于稳定状态，每周期此公司的1000万元投资不会使投资市场发生明显变化，导致风险发生明显变化；2）假设公司投资的一个周期即为一天；3）假设每个周期内的收益额的关系都满足独立同分布；4）假设题目中所给的数据具有一定的代表性，可以反映该公司在过去收益额的总体情况；5）假设该公司在过去一年255个交易日的日收益额每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为1000万元；6）假设收益率为定值，投资额与收益额之间呈线性关系。
3 模型建立与求解
3.1 符号说明
模型中的符号说明如下：
T：周期数；
1-a：置信度；
μi：i个周期时的样本均值；
σi：i个周期时的样本标准差；
AT：T天(T=1,2…)内，以95%的置信度保证的最大损失额；
y ：投资率
LT：T天(T=1,2…)内损失超过10万元的可能性不大于5%时的初始投资额
3.2 正态分布模型的建立与求解方法
我们以一个周期为例建立正态分布模型：
设销售额X服从于正态分布，则有分布函数：X~N(μ,σ2)
则在下一个周期（1天）内损失数额超过10万元的可能性可以表示为： 
当置信度为1-a时，其右侧置信区间为： 
，其中n=1
能以95%的置信度保证损失的数额不会超过的数值可以表示为：
公式 投资额与收益额之间的关系为：
设收益率为Y，则Y服从于正态分布,当置信度为1-a时，其右侧置信区间为：
设投资额为z，则如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多可以表示为：LT=-10/y。
3.3 蒙特卡罗模型的建立与求解方法
对这255个数据进行理论分析，得到了这些数据的均值为7.4863，标准差为9.852，再通过模拟，将255个数据按一定的法则扩展成为多个随机数列，最后进行相关问题的求解。要产生正态分布的模拟随机数列，产生服从N(μ,σ2)的算法步骤：1）产生n 个RND 随机数：r1，r2，…，rn； 2）计算
计算y, y是服从 N(μ,σ2) 分布的随机数。
在一个周期内，求解损失数额超过10万元的可能性，即求p{X -10}，我们将根据均值和标准差，将255个数据扩展为10000×10000个，再求这100000000个随机数据中数额超过10万元的概率。求用数额为1000万元的资金投资某种金融资产能以95%的置信度保证损失的数额不会超过的损失额。我们根据均值和标准差，取（-30，33）将数据扩展为1000×1000个，找到概率为0.05对应的值，若在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，求解初始投资额最多的情况。我们根据均值和标准差，取（1，1000）将数据扩展为1000×1000个，找到概率为0.05的那个值，并求解初始投资额。求两个周期的相应数据，只需将均值与方差根据周期进行变换，求解方法相同。
3.4 模型的求解
模型求解结果见下表（表1）：
4 模型分析
4.1 模型结果分析
通过MATLAB检验语句ttest对正态分布模型进行检验，得到结论：1）布尔变量h=0，表示不拒绝零假设。说明提出的假设总体均值为7.4863是合理的；2）95%的置信区间为[6.2713，8.7013]，它完全包括7.4863，且精度很高.；3）sig-值为1，远超过0.5，不能拒绝零假设。因此，可以认为模型的精确度有一定的保证，结果较为可靠。
4.2 模型对比分析
通过对比两种模型求得的结果可以发现：模型得到的结果较为接近，考虑实际，我们对于一般情形，模型利用正态分布的可加性可以将问题简化，思路较为直观，在对精确度要求较高的情况下，可以用蒙特卡罗模型生成尽可能多的随机数，无限逼近精确值。
5 规律总结
在模型分析具体问题的基础上，通过正态分布建立模型，最终分析得到关于初始投资额M、限定损失额L、置信度1-a、周期T的一般关系形式：
仿照两天的情形，可以将T个周期下的结果算出。因而在实际过程中，模型可以计算多个周期的情况，对投资进行分析。在实际问题中，我们可以结合具体情况，分析数据得到初始投资额与日收益额的关系，在已有模型的基础上进行改进，得到更符合公司实际的投资方案。除了投资问题之外，本文的正态分布模型、蒙特卡罗模型、离散模型均可以用于生产、出售，如企业的生产规划等问题中。
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参考文献
［1］胡晓洁.正态分布及其扩展综述[J].数学学习与研究:专题研究,2014(3):92-94.
［2］印凡成,夏乐天.概率论与数理统计[M].南京:河海大学出版社,2004,8.
［责任编辑：刘展］