宁夏固原市五原中学（756000）马占山
宁夏固原市第一中学（756000）刘高义
笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式，即
定理1在ΔABC中，设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长，相应于顶点A,B,C，ΔABC的中线长为ma,mb,mc；内角平分线长为wa,wb,wc；高线长为ha,hb,hc，旁切圆半径为ra,rb,rc，ΔABC的面积为S,则
4Sm2ar2a+m2br2b+m2cr2c≥ab+bc+ac≥
4Sm2aw2a+m2bw2b+m2cw2c≥43S。（1）
证明：不等式（1）的左边等价于下面不等式
16S2(m2ar2a+m2br2b+m2cr2c)≥(ab+bc+ac)2。（2）
由旁切圆半径公式ra=Ss－a,rb=Ss－b,rc=Ss－c（S为△ABC的半周长）和中线公式
ma=2(b2+c2)－a22，mb=2(a2+c2)－b22，mc=2(b2+a2)－c22，得
16S2(m2ar2a+m2br2b+m2cr2c)=16S2∑m2ar2a=∑［2(b2+c2)－a2］(b+c－a)2
≥∑［(b+c)2－a2］(b+c－a)2=(a+b+c)∑(b+c－a)3。
设x,y,z∈R+,则有3(x3+y3+z3)≥(x+y+z)(x2+y2+z2)（*）,
不等式（*）?2(x3+y3+z3)≥x2y+xy2+y2z+yz2+x2x+xz2（**）,
注意到常见不等式x,y,z∈R+时,x3+y3≥xy(x+y)?(x+y)(x－y)2≥0。
那么（**）显然成立，因此根据不等式（*）得到x3+y3+z3≥13(x+y+z)(x2+y2+z2)≥13(x+y+z)×13(x+y+z)2=19(x+y+z)3,于是，令x=b+c－a,y=a+c－b,z=a+b－c,(a+b+c)∑(b+c－a)3≥(a+b+c)×19(a+b－c+c+a－b+b+c－a)3=19(a+b+c)4
=［13(a+b+c)2］2≥(ab+bc+ac)2。
当且仅当a=b=c时取到等号，因此不等式（1）的左边成立，下面再证明不等式（1）的右边。
由ma=2(b2+c2)－a22，mb=
2(a2+c2)－b22，mc=2(b2+a2)－c22和wa=2S(b+c)sinA2,wb=2S(a+c)sinB2,wC=
2S(b+A)sinc2;sinA2=(s－b)(s－c)bc,sinB2=(s－a)(s－c)ac,sinC2=(s－b)(s－a)ab得
m2aw2a+m2bw2b+m2cw2c=∑m2aw2a=116S2×∑［(2b2+2c2)－a2］(b+c)2sin2A2
=116S2×
∑(s－c)(s－c)(b+c)2(2b2+2c2－a2)bc。
因此，不等式（1）的右边ab+bc+ac≥
4Sm2aw2a+m2bw2b+m2cw2c,
等价于(ab+bc+ac)2≥
∑(s－b)(s－c)(b+c)2(2b2+2c2－a2)bc
?
4abc(ab+bc+ac)2≥∑a［(2b2+2c2)－a2］(b+c)2［a2－(b－c)2］
?2∑a6(b+c)+∑a5(b2+c2)－3∑a4(b3+c3)+2abc∑a4－2abc∑a3(b+c)－4abc∑b2c2+6a2b2c2∑a≥0
?∑bc［2(b3+c3)+5bc(b+c)+a(b2+3bc+c2)－3a2(b+c)］(b－c)2≥0
?∑bc(b+c－a)(3ab+3ac+2b2+3bc+2c2)(b－c)2≥0。
当且仅当a=b=c时取到等号。
定理2在ΔABC中，设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长，相应于顶点A,B,C，ΔABC的中线长为ma,mb,mc；内角平分线长为wa,wb,wc；高线长为ha,hb,hc，ΔABC的面积为S,则ab+bc+ac≥
4Sw2ah2a+w2bh2b+w2ch2c≥43S。（3）
证明：由ha=2Sa，hb=2Sb，hc=2Sc可知不等式（3）的左边等价于
(ab+bc+ac)2≥4(a2w2a+b2w2b+c2w2c)（4）,
再由wa=2bcs(s－a)b+c,wb=2acs(s－b)a+c,wc=2abs(s－c)b+a（其中s为ΔABC的半周长）。
不等式（4）的右边=4［a2×
(2bcs(s－a)b+c)2+b2×(2acs(s－b)a+c)2+c2×(2abs(s－c)b+a)2］
≤4［a2×s(s－a)+b2s(s－b)+c2×s(s－c)］
=(a+b+c)［a2(b+c－a)+b2(a+c－b)+c2(a+b－c)］。
因此，只要证明不等式
(ab+bc+ac)2≥(a+b+c)［a2(b+c－a)+b2(a+c－b)+c2(a+b－c)］（5）成立即可，不等式（5）等价于
a4+b4+c4(a2b2+b2c2+a2c2)≥0,
等价于(a2－b2)2+(b2－c2)2+(c2－a2)2≥0,
当且仅当a=b=c时取到等号。
而不等式m2aw2a+m2bw2b+m2cw2c≥3和
w2ah2a+w2bh2b+w2ch2c≥3显然成立，值得注意的是这两个不等式彼此不分强弱。
最后，衷心感谢我们的恩师褚小光教授对本文的帮助和悉心指导。